Параллелепипедті тік бұрышты енді қораптап ғаннан 5 см қалпында қырымы бар, бірақ оның толықтыруына 385

Смешарик

61

Школьник, давайте пошагово решим эту задачу о параллелепипеде.

1. Пусть длина параллелепипеда будет \(a\) см, ширина - \(b\) см, а высота - \(c\) см.

2. По условию, объем параллелепипеда составляет 385 куб. см. Это означает, что \(a \cdot b \cdot c = 385\).

3. Также, по условию задачи, поверхность параллелепипеда, включая все его грани, имеет площадь 5 квадратных см (или 5 кубических см).

4. Чтобы найти площадь поверхности параллелепипеда, мы можем использовать формулу \(2(ab + ac + bc)\). Заменим значения в этой формуле и получим уравнение \(2(ab + ac + bc) = 5\).

5. Таким образом, у нас есть система уравнений:

\[
\begin{cases}
a \cdot b \cdot c = 385 \\
2(ab + ac + bc) = 5
\end{cases}
\]

Теперь найдем значения каждой стороны параллелепипеда.

6. Для удобства, возьмем в качестве неизвестных величин \(x = a \cdot b\), \(y = a \cdot c\), \(z = b \cdot c\).

7. Используя эти новые переменные, первое уравнение можно переписать в виде \(x \cdot c = 385\), а второе - \(2(xy + xz + yz) = 5\).

8. Теперь мы имеем систему уравнений вида:

\[
\begin{cases}
x \cdot c = 385 \quad (1) \\
2(xy + xz + yz) = 5 \quad (2)
\end{cases}
\]

9. Разрешим первое уравнение относительно \(c\), получим \(c = \frac{385}{x}\) и подставим во второе уравнение.

10. После подстановки, получим выражение:

\[
2\left(\frac{385xy}{x} + \frac{385xz}{x} + \frac{385yz}{x}\right) = 5
\]

11. Упростим это выражение, получим:

\[
770(xy + xz + yz) = 5x
\]

12. Разделим обе части уравнения на 5, чтобы сократить коэффициент:

\[
154(xy + xz + yz) = x
\]

13. Мы знаем, что \(x = a \cdot b\).

14. Таким образом, у нас есть уравнение:

\[
154(ab + ac + bc) = ab
\]

15. Упростим это уравнение:

\[
153ab + 154ac + 154bc = 0
\]

16. В первом уравнении уже есть \(ab\), и мы можем выразить другие неизвестные величины через \(ab\).

17. Поделим все члены уравнения на \(ab\):

\[
153 + 154\left(\frac{a}{b}\right) + 154\left(\frac{b}{a}\right) = 0
\]

18. Заметим, что данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно величины \(u = \frac{a}{b}\).

19. Подставим \(u\) в уравнение и решим его:

\[
153 + 154u + 154\left(\frac{1}{u}\right) = 0
\]

20. Решая данное уравнение, мы найдём \(u = -1\).

21. Возвращаемся к \(a\) и \(b\):

\[
\frac{a}{b} = -1
\]

22. Так как эта дробь равна -1, то \(a = -b\).

23. Теперь у нас есть два уравнения: \(ab = x\) и \(a = -b\).

24. Заменим \(a\) в первом уравнении на \(-b\):

\[
-b \cdot b = x \quad \Rightarrow \quad -b^2 = x
\]

25. Возвращаемся к уравнению (1) и подставляем \(c = \frac{385}{x}\):

\[
\frac{385}{-b^2} = c
\]

26. Упростим это уравнение:

\[
-385b^{-2} = c \quad \Rightarrow \quad -\frac{385}{b^2} = c
\]

27. Теперь у нас есть три уравнения: \(x = -b^2\), \(a = -b\), и \(c = -\frac{385}{b^2}\).

28. Подставим эти значения в формулу для площади поверхности:

\[
2((-b)(-b) + (-b)\left(-\frac{385}{b^2}\right) + (-\frac{385}{b^2})(-b)) = 5
\]

29. Упростим это выражение:

\[
2(b^2 + \frac{385}{b} - \frac{385}{b}) = 5
\]

30. Сократим слагаемые:

\[
2(b^2) = 5 \quad \Rightarrow \quad b^2 = \frac{5}{2} \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt{\frac{5}{2}}
\]

31. Заметим, что \(a = -b\), поэтому \(a = -\sqrt{\frac{5}{2}}\).

32. Теперь, чтобы найти значение \(c\), подставим \(a\) и \(b\) в уравнение (1):

\[
x \cdot c = 385 \quad \Rightarrow \quad -b^2 \cdot c = 385 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{\frac{5}{2}} \cdot c = 385
\]

33. Решим это уравнение относительно \(c\):

\[
c = \frac{385}{\sqrt{\frac{5}{2}}} = \frac{385}{\sqrt{\frac{10}{4}}} = \frac{385}{\sqrt{\frac{10}{2}}}
\]

34. Упростим последнее выражение:

\[
c = \frac{385}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{2} = \frac{385 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{385\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{385\sqrt{10}}{5}
\]

Таким образом, ответ на вашу задачу: \(a = -\sqrt{\frac{5}{2}}\) см, \(b = \sqrt{\frac{5}{2}}\) см, \(c = \frac{385\sqrt{10}}{5}\) см.