Перефразуйте текст запитання: 1. Як знайти відстань від точки (1; 2; -3) до площини координат? 2. Як виміряти відстань

Эдуард

16

1. Задача: Визначити відстань від точки (1; 2; -3) до площини координат.
Розв"язання:
- Спочатку визначимо нормаль вектор площини координат. Вектор нормалі можна отримати шляхом вибору значень коефіцієнтів x, y та z у співвідношенні загального рівняння площини, відомого нам: Ax + By + Cz + D = 0, де A, B та C - коефіцієнти площини, D - вільний член;
- Враховуючи, що площина координат має загальне рівняння: x + y + z + D = 0, отримаємо, що нормальний вектор площини ma (1; 1; 1);
- Щоб визначити відстань d від точки A до площини, можемо скористатися формулою: d = | ma · AP | / | ma |, де AP - вектор, що з"єднує точку A (1; 2; -3) з будь-якою точкою в площині координат. Тобто, AP (x; y; z);
- Маємо d = | (1; 1; 1) · (x - 1; y - 2; z + 3) | / | (1; 1; 1) |
= | x - 1 + y - 2 + z + 3 | / | (1; 1; 1) |
= | x + y + z + 2 | / | (1; 1; 1) |
= | x + y + z + 2 | / sqrt(3);
Отже, відстань від точки (1; 2; -3) до площини координат дорівнює | x + y + z + 2 | / sqrt(3).

2. Задача: Виміряти відстань від точки (1; 2; -3) до осей координат.
Розв"язання:
- Для вимірювання відстані від точки до осей координат достатньо виміряти довжини проекцій від точки на кожну з осей: x-ос, y-ос і z-ос.
- Проекція точки (1; 2; -3) на x-ос дорівнює значенню координати x точки A (1). Відстань від точки до x-осі дорівнює | x - 1 | = | 1 - 1 | = 0;
- Аналогічно, проекція точки (1; 2; -3) на y-ос дорівнює значенню координати y точки A (2). Відстань від точки до y-осі дорівнює | y - 2 | = | 2 - 2 | = 0;
- Також, проекція точки (1; 2; -3) на z-ос дорівнює значенню координати z точки A (-3). Відстань від точки до z-осі дорівнює | z + 3 | = | -3 + 3 | = 0;
Отже, відстані від точки (1; 2; -3) до осей координат дорівнюють нулю.

3. Задача: Обчислити відстань від точки (1; 2; -3) до початку координат.
Розв"язання:
- Відстань між двома точками можна обчислити використовуючи формулу відстані між двома точками в просторі: d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2), де (x1; y1; z1) - координати першої точки (1; 2; -3), а (x2; y2; z2) - координати другої точки, якою є початок координат (0; 0; 0);
- Підставивши відповідні значення, отримаємо: d = sqrt((0-1)^2 + (0-2)^2 + (0+3)^2)
= sqrt((-1)^2 + (-2)^2 + 3^2)
= sqrt(1 + 4 + 9)
= sqrt(14).
Отже, відстань від точки (1; 2; -3) до початку координат дорівнює sqrt(14).