Перепишите следующие уравнения в другой форме, не меняя их значение: 1) Какие значения х удовлетворяют уравнению

Muravey

19

1) Для решения уравнения \(x^4 - 82x^2 + 81 = 0\) мы можем ввести замену переменной \(y = x^2\). Тогда наше уравнение примет вид \(y^2 - 82y + 81 = 0\). Затем можно решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\). В нашем случае \(a = 1\), \(b = -82\) и \(c = 81\). Подставив эти значения в формулу дискриминанта, мы получим:
\[D = (-82)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 81 = 6724 - 324 = 6400\].

Так как \(D > 0\), у уравнения есть два вещественных корня. Далее, можно найти эти корни, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\].

Подставляя значения \(a\), \(b\) и \(D\) в эту формулу, мы получим:
\[y_1 = \frac{-(-82) + \sqrt{6400}}{2 \cdot 1} = \frac{82 + 80}{2} = 81\],
\[y_2 = \frac{-(-82) - \sqrt{6400}}{2 \cdot 1} = \frac{82 - 80}{2} = 1\].

Теперь нам необходимо найти значения переменной \(x\). Используя замену \(y = x^2\), мы получаем:
\[x_1 = \sqrt{y_1} = \sqrt{81} = 9\],
\[x_2 = \sqrt{y_2} = \sqrt{1} = 1\].

Таким образом, уравнение \(x^4 - 82x^2 + 81 = 0\) имеет два решения: \(x = 9\) и \(x = 1\).

2) Для уравнения \(x^4 + 12x^2 - 64 = 0\) мы также можем использовать замену переменной \(y = x^2\). Получим \(y^2 + 12y - 64 = 0\). Решим это уравнение, используя формулу дискриминанта:
\[D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400\].

Так как \(D > 0\), у уравнения есть два вещественных корня. Применяя формулу для нахождения корней, получаем:
\[y_1 = \frac{-12 + \sqrt{400}}{2} = \frac{-12 + 20}{2} = 4\],
\[y_2 = \frac{-12 - \sqrt{400}}{2} = \frac{-12 - 20}{2} = -16\].

Затем находим значения переменной \(x\):
\[x_1 = \sqrt{y_1} = \sqrt{4} = 2\],
\[x_2 = \sqrt{y_2}\].

Заметим, что уравнение \(x^2 = -16\) не имеет корней вещественных чисел, так как квадрат любого вещественного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, уравнение \(x^4 + 12x^2 - 64 = 0\) имеет только одно решение: \(x = 2\).

3) Для уравнения \(4x^4 - 21x^2 + 5 = 0\) опять же используем замену переменной \(y = x^2\). Получим \(4y^2 - 21y + 5 = 0\). Вычислим дискриминант:
\[D = (-21)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 441 - 80 = 361\].

Так как \(D > 0\), у уравнения есть два вещественных корня. Применяя формулу для нахождения корней, получаем:
\[y_1 = \frac{21 + \sqrt{361}}{8} = \frac{21 + 19}{8} = \frac{40}{8} = 5\],
\[y_2 = \frac{21 - \sqrt{361}}{8} = \frac{21 - 19}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\].

Теперь находим значения переменной \(x\):
\[x_1 = \sqrt{y_1} = \sqrt{5}\],
\[x_2 = \sqrt{y_2} = \frac{1}{4}\].

Таким образом, уравнение \(4x^4 - 21x^2 + 5 = 0\) имеет два решения: \(x = \sqrt{5}\) и \(x = \frac{1}{4}\).

4) Для уравнения \(3x^4 + 16x^2\) нет указанного константного члена, поэтому оно не может быть приравнено к нулю. Вероятно, здесь была допущена опечатка. Если было задумано уравнение \(3x^4 + 16x^2 = 0\), то мы можем применить замену переменной \(y = x^2\), и у нас получится уравнение \(3y^2 + 16y = 0\). Вынося \(y\) за скобку, получим \(y(3y + 16) = 0\).

Далее, мы получаем два возможных значения для \(y\): либо \(y = 0\), либо \(3y + 16 = 0\).

Если \(y = 0\), то это означает, что \(x^2 = 0\) и единственное решение будет \(x = 0\).

Если \(3y + 16 = 0\), то получаем \(3y = -16\), что эквивалентно \(y = -\frac{16}{3}\). Теперь находим значения переменной \(x\):
\[x_1 = \sqrt{y} = \sqrt{-\frac{16}{3}}\],
\[x_2 = -\sqrt{y} = -\sqrt{-\frac{16}{3}}\].

Однако, заметим, что оба значения являются комплексными числами, так как подкоренное выражение отрицательное. В рамках школьного курса мы рассматриваем только вещественные числа, поэтому данное уравнение не имеет решений.