Перепишите следующие уравнения в другой форме, не меняя их значение: 1) Какие значения х удовлетворяют уравнению

  • 55
Перепишите следующие уравнения в другой форме, не меняя их значение:

1) Какие значения х удовлетворяют уравнению х⁴-82х²+81=0?
2) Какие значения х удовлетворяют уравнению х⁴+12х²-64=0?
3) Какие значения х удовлетворяют уравнению 4х⁴-21х²+5=0?
4) Какие значения х удовлетворяют уравнению 3х⁴+16х²?
Muravey
19
1) Для решения уравнения x482x2+81=0 мы можем ввести замену переменной y=x2. Тогда наше уравнение примет вид y282y+81=0. Затем можно решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта D=b24ac. В нашем случае a=1, b=82 и c=81. Подставив эти значения в формулу дискриминанта, мы получим:
D=(82)24181=6724324=6400.

Так как D>0, у уравнения есть два вещественных корня. Далее, можно найти эти корни, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
y=b±D2a.

Подставляя значения a, b и D в эту формулу, мы получим:
y1=(82)+640021=82+802=81,
y2=(82)640021=82802=1.

Теперь нам необходимо найти значения переменной x. Используя замену y=x2, мы получаем:
x1=y1=81=9,
x2=y2=1=1.

Таким образом, уравнение x482x2+81=0 имеет два решения: x=9 и x=1.

2) Для уравнения x4+12x264=0 мы также можем использовать замену переменной y=x2. Получим y2+12y64=0. Решим это уравнение, используя формулу дискриминанта:
D=12241(64)=144+256=400.

Так как D>0, у уравнения есть два вещественных корня. Применяя формулу для нахождения корней, получаем:
y1=12+4002=12+202=4,
y2=124002=12202=16.

Затем находим значения переменной x:
x1=y1=4=2,
x2=y2.

Заметим, что уравнение x2=16 не имеет корней вещественных чисел, так как квадрат любого вещественного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, уравнение x4+12x264=0 имеет только одно решение: x=2.

3) Для уравнения 4x421x2+5=0 опять же используем замену переменной y=x2. Получим 4y221y+5=0. Вычислим дискриминант:
D=(21)2445=44180=361.

Так как D>0, у уравнения есть два вещественных корня. Применяя формулу для нахождения корней, получаем:
y1=21+3618=21+198=408=5,
y2=213618=21198=28=14.

Теперь находим значения переменной x:
x1=y1=5,
x2=y2=14.

Таким образом, уравнение 4x421x2+5=0 имеет два решения: x=5 и x=14.

4) Для уравнения 3x4+16x2 нет указанного константного члена, поэтому оно не может быть приравнено к нулю. Вероятно, здесь была допущена опечатка. Если было задумано уравнение 3x4+16x2=0, то мы можем применить замену переменной y=x2, и у нас получится уравнение 3y2+16y=0. Вынося y за скобку, получим y(3y+16)=0.

Далее, мы получаем два возможных значения для y: либо y=0, либо 3y+16=0.

Если y=0, то это означает, что x2=0 и единственное решение будет x=0.

Если 3y+16=0, то получаем 3y=16, что эквивалентно y=163. Теперь находим значения переменной x:
x1=y=163,
x2=y=163.

Однако, заметим, что оба значения являются комплексными числами, так как подкоренное выражение отрицательное. В рамках школьного курса мы рассматриваем только вещественные числа, поэтому данное уравнение не имеет решений.