Під якими значеннями a функція f(x)=(a-2)x2+2ax+a+4 має два корені?

Милая

63

Для того чтобы найти значение параметра \(a\) при котором у данной функции \(f(x) = (a-2)x^2 + 2ax + a + 4\) есть два корня, мы можем использовать дискриминант. Дискриминант для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае, уравнение \(f(x) = (a-2)x^2 + 2ax + a + 4\) имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(b = 2a\), \(a = a - 2\), и \(c = a + 4\). Подставляя значения в формулу для дискриминанта, получаем:

\[D = (2a)^2 - 4(a-2)(a+4)\]

Далее, учитывая что \(D > 0\) для того чтобы уравнение имело два различных корня, мы можем решить неравенство:

\[(2a)^2 - 4(a-2)(a+4) > 0\]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[4a^2 - 4(a^2 - 2a + 4a - 8) > 0\]

\[4a^2 - 4(a^2 + 2a - 8) > 0\]

\[4a^2 - 4a^2 - 8a + 32 > 0\]

\[-8a + 32 > 0\]

Теперь решаем неравенство относительно \(a\):

\[-8a > -32\]

\[a < 4\]

Таким образом, функция \(f(x) = (a-2)x^2 + 2ax + a + 4\) будет иметь два корня при значениях \(a\) меньше 4.