Почему угол между касательной к графику функции y=sinx в точке x=0 и положительным направлением оси абсцисс составляет

Алексеевич

8

Очень хорошо! Чтобы объяснить, почему угол между касательной к графику функции \(y=\sin{x}\) в точке \(x=0\) и положительным направлением оси абсцисс составляет 45 градусов, давайте проведем пошаговый анализ.

1. Начнем с графика функции \(y=\sin{x}\). Это график синусоиды, который имеет форму периодической волны, проходящей через точки на оси абсцисс, соответствующие значениям \(x=0, x=2\pi, x=4\pi\) и так далее.

2. Важно понять, что косинус угла между прямой и осью абсцисс в точке пересечения графика функции с осью абсцисс всегда равен модулю производной функции в этой точке. Производная функции \(y=\sin{x}\) равна \(\cos{x}\).

3. В нашем случае, мы исследуем точку \(x=0\), поэтому нам нужно найти производную функции \(y=\sin{x}\) в этой точке. Производная функции \(\sin{x}\) равна \(\cos{x}\), поэтому производная в точке \(x=0\) равна \(\cos{0}=1\).

4. Теперь у нас есть значение производной функции в точке \(x=0\), которое равно 1. Зная, что \(\cos\) требует аргумент в радианах, мы можем преобразовать 45 градусов в радианы, используя формулу \(\pi/180\). Таким образом, 45 градусов равны \(45\cdot \pi/180 = \pi/4\) радиан.

5. Мы знаем, что более наглядным способом представления угла между двумя векторами в плоскости является через скалярное произведение этих векторов. Таким образом, мы можем найти скалярное произведение между вектором, задающим касательную к графику в точке \(x=0\), и положительным направлением оси абсцисс.

6. Скалярное произведение двух векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Мы знаем, что один из векторов имеет длину 1 (производная функции равна 1), и нам нужно найти угол между этим вектором и положительным направлением оси абсцисс.

7. Мы уже установили, что угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс равен \(\pi/4\) радиан. Следовательно, скалярное произведение вектора длиной 1 и вектора длиной 1 равно \(1 \cdot 1 \cdot \cos(\pi/4) = \cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2}\).

8. После этого мы замечаем, что \(\cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2}\). Таким образом, скалярное произведение между вектором, задающим касательную к графику функции в точке \(x=0\), и положительным направлением оси абсцисс равно \(1/\sqrt{2}\).

9. Вспомним, что скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними. Поэтому, чтобы найти \(\cos(\pi/4)\), достаточно поделить скалярное произведение на произведение длин векторов: \(1/\sqrt{2} / (1 \cdot 1) = 1/\sqrt{2}\).

10. Теперь мы знаем, что \(\cos(\pi/4)=1/\sqrt{2}\). Это значит, что угол между касательной к графику функции \(y=\sin{x}\) в точке \(x=0\) и положительным направлением оси абсцисс составляет 45 градусов.

Таким образом, мы получаем подробный вывод, основанный на знаниях о производных, геометрии и тригонометрии, почему угол между касательной к графику функции \(y=\sin{x}\) в точке \(x=0\) и положительным направлением оси абсцисс составляет 45 градусов.