Под какими значениями параметра a система уравнений 2x+ay=a+2 (a+1)x+2ay=2a+4 будет: а) иметь только одно решение

Magicheskiy_Zamok

63

Для начала, давайте проанализируем систему уравнений:

\[2x + ay = a + 2\]
\[(a + 1)x + 2ay = 2a + 4\]

Мы хотим найти значения параметра "a", при которых система будет иметь только одно решение, бесконечное число решений или не будет иметь решений.

Для системы уравнений существует три возможных случая:

а) Оба уравнения являются линейно независимыми, и система имеет только одно решение.
б) Оба уравнения являются пропорциональными, и система имеет бесконечное число решений.
в) Оба уравнения противоречат друг другу, и система не имеет решений.

Чтобы выяснить, какой случай относится к нашей системе уравнений, нужно рассмотреть значения параметра "a".

Начнем сравнивать коэффициенты уравнений.

У первого уравнения коэффициенты \(2\) и \(a\) перед переменными \(x\) и \(y\), соответственно.

У второго уравнения коэффициенты \(a + 1\) и \(2a\) перед переменными \(x\) и \(y\), соответственно.

Сравнивая коэффициенты при \(x\), мы видим, что при \(a + 1 \neq 2\) первое уравнение не может быть пропорционально второму.

Теперь сравним коэффициенты при \(y\):

Для первого уравнения: \(a \neq 2\) (коэффициенты при \(y\) не равны).

Для второго уравнения: \(2a \neq 0\) (коэффициенты при \(y\) не равны).

Итак, если исключены пропорциональные соотношения между уравнениями, рассмотрим последний случай: возможно противоречие между уравнениями.

Мы замечаем, что если подставим \(x = 1\) и \(y = -1\) в оба уравнения, получим следующее:

Для первого уравнения: \(2 \cdot 1 + a \cdot (-1) = a + 2\), что сводится к уравнению \(2 - a = a + 2\) или \(-a - a = 2 - 2\), что равносильно \(-2a = 0\). Здесь мы видим, что при \(a = 0\) первое уравнение будет выполняться.

Для второго уравнения: \((a + 1) \cdot 1 + 2a \cdot (-1) = 2a + 4\), что приводит к уравнению \(a + 1 - 2a = 2a + 4\) или \(-a - 2a = 4 - 1\), что равносильно \(-3a = 3\). Здесь мы видим, что при \(a = -1\) второе уравнение будет выполняться.

Таким образом, если \(a = 0\) и \(a = -1\), оба уравнения выполняются одновременно.

Итак, при \(a = 0\) и \(a = -1\) система уравнений будет иметь бесконечное число решений.

Для всех остальных значений \(a\) система уравнений будет иметь только одно решение.

Надеюсь, эта подробная пошаговая информация помогла вам понять, как найти значения параметра "a" для данной системы уравнений. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать!