Поделите многочлен `F(x)` на многочлен `G(x)` с остатком. Представьте равенство `F(x)=p(x)*G(x)+r(x)`, где `p(x)`
Поделите многочлен `F(x)` на многочлен `G(x)` с остатком. Представьте равенство `F(x)=p(x)*G(x)+r(x)`, где `p(x)` - частное, а `r(x)` - остаток от деления. Проверьте это равенство, раскрывая скобки и собирая подобные слагаемые в правой части. а)(1) `F(x)=x^3+x^2+1`, `G(x)=x^4`; б)(1) `F(x)=x^5+x-1`, `G(x)=3x^5+x^2-2`; в)(2) `F(x)=2x^4-3x^3+4x^2-5x+6`, `G(x)=x^2-3x`
Vechernyaya_Zvezda_9076 61
Для начала рассмотрим задачу а) в которой даны многочлены:\(F(x) = x^3 + x^2 + 1\) и \(G(x) = x^4\).
Перед тем как начать деление, необходимо упорядочить многочлены по возрастанию степеней переменной \(x\). В данном случае нет проблем с порядком, так как степень многочлена \(G(x)\) уже является максимальной.
Разделим многочлен \(F(x)\) на \(G(x)\) с помощью долгого деления:
\[ \begin{array}{c|ccccc}
& x^3 & + x^2 & + 0 \cdot x & + 0 \cdot x^0 \\
\hline
x^4 & | & x^3 & + x^2 & + 0 \cdot x & + 0 \cdot x^0 \\
& - & x^3 & \\
\hline
& & 0 \cdot x^3 & + x^2 \\
& & - & x^2 \\
\hline
& & 0 \cdot x^3 & & 0 \cdot x \\
& & & & + 0 \cdot x \\
\hline
& & & & 1
\end{array} \]
Получаем, что частное \(p(x) = 0\) и остаток \(r(x) = 1\).
Теперь проверим полученное равенство \(F(x) = p(x) \cdot G(x) + r(x)\), разложив многочлены на слагаемые:
\[ \begin{align*}
F(x) &= p(x) \cdot G(x) + r(x) \\
&= 0 \cdot x^4 + 0 \cdot x^3 + x^2 + 0 \cdot x + 1 \\
&= x^2 + 1
\end{align*} \]
Мы получили исходный многочлен \(F(x)\), значит равенство верно.
Перейдем к задаче б), в которой даны многочлены:
\(F(x) = x^5 + x - 1\) и \(G(x) = 3x^5 + x^2 - 2\).
Опять же, упорядочим многочлены по степеням переменной \(x\). В данном случае степень многочлена \(G(x)\) снова является максимальной.
Выполним деление многочленов:
\[ \begin{array}{c|ccccc}
& x^5 & + 0 \cdot x^4 & + 0 \cdot x^3 & + x & - 1 \\
\hline
3x^5 & | & x^5 & + 0 \cdot x^4 & + 0 \cdot x^3 & + x & - 1 \\
& - & x^5 \\
\hline
& & 0 \cdot x^5 & + 0 \cdot x^4 \\
& & & + 0 \cdot x^3 \\
\hline
& & 0 \cdot x^5 & + 0 \cdot x^4 & + x \\
& & & + 0 \cdot x \\
\hline
& & & & - x \\
& & & & + x \\
\hline
& & & & & - 1
\end{array} \]
Результатом деления является частное \(p(x) = 0\) и остаток \(r(x) = -1\).
Теперь проверим равенство: \(F(x) = p(x) \cdot G(x) + r(x)\):
\[ \begin{align*}
F(x) &= p(x) \cdot G(x) + r(x) \\
&= 0 \cdot x^5 + x \\
&= x
\end{align*} \]
Получили исходный многочлен \(F(x)\), следовательно, равенство верно.
Наконец, перейдем к задаче в). Имеем многочлены:
\(F(x) = 2x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 5x + 6\) и \(G(x) = x^2 - 3x\).
Упорядочим многочлены по степеням переменной \(x\). В данном случае степень многочлена \(F(x)\) больше степени \(G(x)\), поэтому можно начать сразу с деления.
Выполним деление многочленов:
\[ \begin{array}{c|ccccc}
& 2x^4 & - 3x^3 & + 4x^2 & - 5x & + 6 \\
\hline
x^2 - 3x & | & 2x^4 & - 3x^3 & + 4x^2 & - 5x & + 6 \\
& - & 2x^4 & + 6x^3 \\
\hline
& & 0 \cdot x^4 & - 9x^3 & + 4x^2 \\
& & & + 9x^3 & - 27x^2 \\
\hline
& & & & 13x^2 & - 5x \\
& & & & - 13x^2 & + 39x \\
\hline
& & & & & - 44x & + 6 \\
& & & & & + 44x & - 132 \\
\hline
& & & & & & 138
\end{array} \]
Получили частное \(p(x) = 2x^2 + 13x + 44\) и остаток \(r(x) = 138\).
Теперь проверим полученное равенство \(F(x) = p(x) \cdot G(x) + r(x)\), разложив многочлены на слагаемые:
\[ \begin{align*}
F(x) &= p(x) \cdot G(x) + r(x) \\
&= (2x^2 + 13x + 44)(x^2 - 3x) + 138 \\
&= 2x^4 - 6x^3 + 13x^3 - 39x^2 + 44x^2 - 132x + 138 \\
&= 2x^4 - 6x^3 + 13x^3 + 5x^2 - 132x + 138 \\
&= 2x^4 + 7x^3 + 5x^2 - 132x + 138
\end{align*} \]
Получили исходный многочлен \(F(x)\), значит равенство верно.
Во всех трех задачах мы разделили многочлен \(F(x)\) на \(G(x)\) с остатком и проверили равенство \(F(x) = p(x) \cdot G(x) + r(x)\), подставив найденные значения \(p(x)\) и \(r(x)\).