Подробно решите данное уравнение: (85cos^2x+84cosx) / 84tgx−13=0. Выпишите измененный текст вопроса без ответа

Manya_9663

17

Хорошо, давайте решим данное уравнение пошагово и подробно.

Исходное уравнение: \(\frac{{85\cos^2x+84\cos x}}{{84\tan x}}-13=0\)

1. Приведем данное уравнение к общему знаменателю, умножив каждый член на \(84\tan x\):

\(85\cos^2x+84\cos x -13\cdot 84\tan x = 0\)

2. Упростим уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

\(85\cos^2x+84\cos x -1092\tan x = 0\)

3. Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности и приведем его к более удобному виду:

3.1. Слагаемое \(85\cos^2x\) можно выразить через \(\cos 2x\), используя тригонометрическую формулу \(\cos^2x = \frac{1}{2}(1+\cos 2x)\):

\(85\cos^2x = 85\cdot \frac{1}{2}(1+\cos 2x) = \frac{85}{2}(1+\cos 2x)\)

3.2. Слагаемое \(84\cos x\) оставим без изменений.

3.3. Слагаемое \(-1092\tan x\) можно выразить через \(\sin x\) и \(\cos x\), используя тригонометрическую формулу \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\):

\(-1092\tan x = -1092\cdot \frac{\sin x}{\cos x} = -1092\sin x\)

4. Подставим полученные значения для слагаемых обратно в исходное уравнение:

\(\frac{\frac{85}{2}(1+\cos 2x) + 84\cos x - 1092\sin x}{84\tan x} - 13 = 0\)

5. Упростим выражение, приведя числитель к общему знаменателю:

\(\frac{85(1+\cos 2x) + 168\cos x - 2184\sin x}{168\sin x} - 13 = 0\)

6. Переместим 13 на другую сторону уравнения:

\(\frac{85(1+\cos 2x) + 168\cos x - 2184\sin x}{168\sin x} = 13\)

7. Умножим обе части уравнения на \(\frac{168\sin x}{85}\), чтобы избавиться от дроби:

\(85(1+\cos 2x) + 168\cos x - 2184\sin x = 168\sin x \cdot 13\)

8. Раскроем скобки:

\(85 + 85\cos 2x + 168\cos x - 2184\sin x = 2184\sin x\)

9. Группируем слагаемые синуса и косинуса:

\(85\cos 2x + 168\cos x + 2184\sin x - 2184\sin x = 2184\sin x - 85\)

10. Упростим выражение, вынесем общий множитель за скобки:

\(85(\cos 2x + 2\cos x) = 2184\sin x - 85\)

11. Поделим обе части уравнения на 85:

\(\cos 2x + 2\cos x = \frac{{2184\sin x - 85}}{85}\)

12. Раскроем косинус двойного угла \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\):

\(2\cos^2 x - 1 + 2\cos x = \frac{{2184\sin x - 85}}{85}\)

13. Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:

\(2\cos^2 x + 2\cos x - 1 = \frac{{2184\sin x - 85}}{85}\)

14. Умножим обе части уравнения на \(\frac{85}{2}\), чтобы избавиться от дроби:

\(85\cos^2 x + 85\cos x - \frac{85}{2} = 2184\sin x - 85\)

15. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

\(85\cos^2 x + 85\cos x - 2184\sin x + \frac{85}{2} = 0\)

16. Наше исходное уравнение приводится к следующему квадратному уравнению:

\(85\cos^2 x + 85\cos x - 2184\sin x + \frac{85}{2} = 0\)

Таким образом, решение данного уравнения состоит из всех значений \(x\), удовлетворяющих последнему квадратному уравнению. Продолжение решения может потребовать использования численных методов для подсчета значений \(\cos x\), \(\sin x\) и т.д., или других алгоритмов, в зависимости от требований задачи.