Подсчитайте математическое ожидание (среднее значение) и выборочную дисперсию для следующих 10 значений содержания

Таинственный_Рыцарь

65

Хорошо, чтобы найти математическое ожидание и выборочную дисперсию для заданных значений содержания марганца, нам понадобится выполнить следующие шаги:

1. Сначала найдем сумму всех значений, чтобы найти среднее значение или математическое ожидание. Математическое ожидание (M) можно найти, разделив сумму значений на их общее количество:

\[ M = \frac{{x_1 + x_2 + \dots + x_n}}{{n}} \],

где \( x_1, x_2, \dots, x_n \) - значения, а \( n \) - количество значений.

2. Затем вычтем среднее значение из каждого значения и возведем разность в квадрат. Это поможет нам найти разброс значений вокруг среднего значения.

3. После этого найдем сумму квадратов разностей для всех значений:

\[ S = (x_1 - M)^2 + (x_2 - M)^2 + \dots + (x_n - M)^2 \].

4. Наконец, разделим полученную сумму на количество значений минус один, чтобы найти выборочную дисперсию:

\[ D = \frac{{S}}{{n-1}} \].

Давайте применим эти шаги для нашей задачи:

1. Сначала найдем среднее значение (M):

\[ M = \frac{{0.69 + 0.70 + 0.67 + 0.66 + 0.69 + 0.67 + 0.68 + 0.67 + 0.68 + 0.68}}{{10}} = 0.680 \].

Среднее значение содержания марганца составляет 0.680 %.

2. Затем вычтем среднее значение (0.680) из каждого значения и возведем разность в квадрат:

\[ (0.69 - 0.680)^2 \approx 0.0001 \],
\[ (0.70 - 0.680)^2 \approx 0.0004 \],
\[ (0.67 - 0.680)^2 \approx 0.0001 \],
\[ (0.66 - 0.680)^2 \approx 0.0004 \],
\[ (0.69 - 0.680)^2 \approx 0.0001 \],
\[ (0.67 - 0.680)^2 \approx 0.0001 \],
\[ (0.68 - 0.680)^2 \approx 0.0000 \],
\[ (0.67 - 0.680)^2 \approx 0.0001 \],
\[ (0.68 - 0.680)^2 \approx 0.0000 \],
\[ (0.68 - 0.680)^2 \approx 0.0000 \].

3. Теперь найдем сумму квадратов разностей:

\[ S = 0.0001 + 0.0004 + 0.0001 + 0.0004 + 0.0001 + 0.0001 + 0.0000 + 0.0001 + 0.0000 + 0.0000 = 0.0012 \].

4. Наконец, разделим сумму квадратов разностей на количество значений минус один, чтобы получить выборочную дисперсию (D):

\[ D = \frac{{0.0012}}{{10-1}} \approx 0.0001333 \].

Выборочная дисперсия содержания марганца составляет 0.0001333 %.

Таким образом, математическое ожидание (среднее значение) содержания марганца равно 0.680 %, а выборочная дисперсия составляет 0.0001333 %.