Подтвердить, что многочлен f(x,y,z) = x3+y3+z3 - xyz не может быть выражен в виде произведения многочленов первой

Mila

61

Чтобы доказать, что многочлен \( f(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3 - xyz \) не может быть выражен в виде произведения многочленов первой степени с действительными коэффициентами, воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что данный многочлен f(x, y, z) может быть представлен в виде произведения двух многочленов первой степени:
\[ f(x, y, z) = (ax + by + cz)(dx + ey + fz) \]

Раскроем правую часть уравнения:
\[ f(x, y, z) = adx^2 + aey^2 + afz^2 + bdx^2 + bey^2 + bfz^2 + cdx^2 + cey^2 + cfz^2 \]
\[ - (adx)(ey) - (adx)(fz) - (bey)(dx) - (bey)(fz) - (cfz)(dx) - (cfz)(ey) \]

Преобразуем это выражение:
\[ f(x, y, z) = (ad + be + cf)x^2 + (ae + bd + cf)y^2 + (af + bf + ce)z^2 - adxy - ayz - czx - bdxz - beyz - cfz \]

Сравним полученное выражение с исходным многочленом \( f(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3 - xyz \):
1. Коэффициент при \( x^2 \) должен быть 1, но у нас получается \( ad + be + cf \).
2. Коэффициент при \( y^2 \) должен быть 1, но у нас получается \( ae + bd + cf \).
3. Коэффициент при \( z^2 \) должен быть 1, но у нас получается \( af + bf + ce \).
4. Коэффициент при \( xy \) должен быть -1, но у нас получается -ad.
5. Коэффициент при \( yz \) должен быть -1, но у нас получается -be.
6. Коэффициент при \( zx \) должен быть -1, но у нас получается -cf.

Из этих сравнений видно, что невозможно подобрать такие коэффициенты a, b, c, d, e, f, чтобы произведение двух многочленов первой степени дало исходный многочлен f(x, y, z).

Таким образом, многочлен \( f(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3 - xyz \) не может быть выражен в виде произведения многочленов первой степени с действительными коэффициентами.