Постройте график функции f(x) =x^2+4x-5 и используя его, определите: 1) Какие значения может принимать данная функция?

Artem

28

Хорошо, давайте начнем с задачи. Функция \(f(x) = x^2 + 4x - 5\) представляет собой квадратичную функцию. Чтобы построить ее график, мы можем использовать несколько шагов.

Шаг 1: Найдем вершину параболы. Вершина параболы \(f(x) = ax^2 + bx + c\) имеет координаты \((-b/2a, f(-b/2a))\). В нашем случае, \(a = 1\), \(b = 4\), и \(c = -5\). Таким образом, мы можем найти вершину, подставляя значения в формулу:
\[x_{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2} = -2\]
\[y_{\text{вершины}} = f(-\frac{b}{2a}) = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9\]
Таким образом, вершина параболы имеет координаты \((-2, -9)\).

Шаг 2: Найдем точки пересечения параболы с осями координат. Чтобы найти точки пересечения с осью \(Ox\) (ось абсцисс), мы должны приравнять \(f(x)\) к нулю и решить уравнение:
\[x^2 + 4x - 5 = 0\]
Это уравнение является квадратным. Мы можем решить его, используя факторизацию или квадратное уравнение. Давайте воспользуемся формулой для решения квадратных уравнений:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
В нашем случае \(a = 1\), \(b = 4\), и \(c = -5\). Мы можем подставить эти значения в уравнение:
\[x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot -5}}{2 \cdot 1}\]
\[x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}\]
\[x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2}\]
\[x_{1,2} = \frac{-4 \pm 6}{2}\]
Таким образом, у нас есть две точки пересечения с осью абсцисс: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -5\).

Шаг 3: Построим график функции, используя полученные результаты. Вершина параболы находится в точке \((-2, -9)\), что означает, что график имеет форму ветвей, направленных вверх. На графике мы отмечаем вершину, точки пересечения с осями координат (\(x_1 = 1\) и \(x_2 = -5\)) и проводим параболу через эти точки.

Теперь давайте перейдем к ответам на заданные вопросы:

1) Значения, которые может принимать данная функция, определяются областью определения. В данном случае, так как это квадратичная функция, она определена для любого значения \(x\) (все действительные числа). Это означает, что функция может принимать любые значения.

2) Задача говорит нам о возрастании и убывании функции. Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции, мы должны проанализировать знак производной функции \(f"(x)\). В данном случае производная равна:
\[f"(x) = 2x + 4\]
Мы знаем, что функция возрастает, когда производная положительна, и убывает, когда производная отрицательна. Решим неравенство \(2x + 4 > 0\):
\[2x + 4 > 0\]
\[2x > -4\]
\[x > -2\]
Таким образом, функция возрастает на интервале \((-2, +\infty)\). Решим неравенство \(2x + 4 < 0\):
\[2x + 4 < 0\]
\[2x < -4\]
\[x < -2\]
Таким образом, функция убывает на интервале \((-\infty, -2)\).

3) Диапазон определения функции - это множество всех значений \(y\), которые функция может принимать. В данном случае, так как график функции является параболой, открытой вверх, диапазон определения будет состоять из всех значений \(y\), больших или равных значению вершины параболы. Таким образом, диапазон определения функции \(f(x)\) будет \([y_{\text{вершины}}, +\infty)\). В нашем случае, диапазон определения функции \(f(x)\) равен \([-9, +\infty)\).

Вот подробный ответ на задачу. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!