Яка ймовірність того, що всі три вибрані на випадковий спосіб білети з 1000 білетів (включаючи 15 виграшних) виявляться

Ledyanoy_Ogon_1936

3

Для розв"язання цієї задачі спочатку визначимо загальну кількість способів вибору трьох білетів з 1000. Для цього використаємо формулу комбінацій: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, де $n$ - загальна кількість елементів, а $k$ - кількість елементів, які потрібно вибрати.

Загалом у нашому випадку $n=1000$ і $k=3$, тому:

$$C_{1000}^3=\frac{1000!}{3!(1000-3)!}=\frac{1000!}{3!997!}$$

Тепер визначимо кількість способів вибрати три виграшних білети з 15. Використовуючи аналогічне обчислення, отримаємо:

$$C_{15}^3=\frac{15!}{3!(15-3)!}=\frac{15!}{3!12!}$$

Отже, ймовірність того, що всі три вибрані білети будуть виграшними, обчислюється як:

$$\frac{C_{15}^3}{C_{1000}^3}=\frac{\frac{15!}{3!12!}}{\frac{1000!}{3!997!}}$$

Розраховуючи дане вираження, ми отримуємо значення ймовірності, яке можна спростити до найпростішого вигляду.

Однак, обчислення такого великого факторіала може бути важким і часомістким процесом. Тому, щоб спростити розрахунки, ми можемо скористатися деякими математичними властивостями.

Зауважимо, що $n!$ можна записати як $n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot 2\cdot 1$.

Також, $n!$ може бути поділено на $(n-k)!$ і залишити тільки доданки від $n$ до $(n-k+1)$.

Використовуючи ці зауваження, ми можемо спростити вирази $\frac{15!}{3!12!}$ та $\frac{1000!}{3!997!}$ до менш затребуваних обчислень.

Таким чином, отримуємо наступні обчислення:

$$\frac{15!}{3!12!}=\frac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12!}{3!12!}=\frac{15\cdot 14\cdot 13}{3!}=\frac{15\cdot 14\cdot 13}{3\cdot 2}$$

та

$$\frac{1000!}{3!997!}=\frac{1000\cdot 999\cdot 998\cdot 997!}{3!997!}=\frac{1000\cdot 999\cdot 998}{3!}=\frac{1000\cdot 999\cdot 998}{3\cdot 2}$$

Отже, результуюча ймовірність становитиме:

$$\frac{15\cdot 14\cdot 13}{3\cdot 2}÷\frac{1000\cdot 999\cdot 998}{3\cdot 2}=\frac{15\cdot 14\cdot 13}{1000\cdot 999\cdot 998}$$

Розраховуючи дане вираження, отримуємо значення ймовірності, яке можна спростити до найпростішого вигляду.