Яка ймовірність того, що всі три вибрані на випадковий спосіб білети з 1000 білетів (включаючи 15 виграшних) виявляться

Ledyanoy_Ogon_1936

3

Для розв"язання цієї задачі спочатку визначимо загальну кількість способів вибору трьох білетів з 1000. Для цього використаємо формулу комбінацій: \({C}_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\), де \(n\) - загальна кількість елементів, а \(k\) - кількість елементів, які потрібно вибрати.

Загалом у нашому випадку \(n = 1000\) і \(k = 3\), тому:

\[{C}_{1000}^3 = \frac{{1000!}}{{3!(1000-3)!}} = \frac{{1000!}}{{3!997!}}\]

Тепер визначимо кількість способів вибрати три виграшних білети з 15. Використовуючи аналогічне обчислення, отримаємо:

\[{C}_{15}^3 = \frac{{15!}}{{3!(15-3)!}} = \frac{{15!}}{{3!12!}}\]

Отже, ймовірність того, що всі три вибрані білети будуть виграшними, обчислюється як:

\[\frac{{C_{15}^3}}{{C_{1000}^3}} = \frac{{\frac{{15!}}{{3!12!}}}}{{\frac{{1000!}}{{3!997!}}}}\]

Розраховуючи дане вираження, ми отримуємо значення ймовірності, яке можна спростити до найпростішого вигляду.

Однак, обчислення такого великого факторіала може бути важким і часомістким процесом. Тому, щоб спростити розрахунки, ми можемо скористатися деякими математичними властивостями.

Зауважимо, що \(n!\) можна записати як \(n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1\).

Також, \(n!\) може бути поділено на \((n-k)!\) і залишити тільки доданки від \(n\) до \((n-k+1)\).

Використовуючи ці зауваження, ми можемо спростити вирази \(\frac{{15!}}{{3!12!}}\) та \(\frac{{1000!}}{{3!997!}}\) до менш затребуваних обчислень.

Таким чином, отримуємо наступні обчислення:

\[\frac{{15!}}{{3!12!}} = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12!}}{{3!12!}} = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13}}{{3!}} = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13}}{{3 \cdot 2}}\]

та

\[\frac{{1000!}}{{3!997!}} = \frac{{1000 \cdot 999 \cdot 998 \cdot 997!}}{{3!997!}} = \frac{{1000 \cdot 999 \cdot 998}}{{3!}} = \frac{{1000 \cdot 999 \cdot 998}}{{3 \cdot 2}}\]

Отже, результуюча ймовірність становитиме:

\[\frac{{15 \cdot 14 \cdot 13}}{{3 \cdot 2}} \div \frac{{1000 \cdot 999 \cdot 998}}{{3 \cdot 2}} = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13}}{{1000 \cdot 999 \cdot 998}}\]

Розраховуючи дане вираження, отримуємо значення ймовірності, яке можна спростити до найпростішого вигляду.