Какова вероятность, что за год перегорит одна, две или три лампочки в гирлянде?

Суслик

13

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать вероятность перегорания одной лампочки за год. Предположим, что вероятность того, что одна лампочка перегорит в течение года, равна \(p\).

Вероятность того, что одна лампочка не перегорит, равна \(1-p\).

Давайте рассмотрим возможные случаи:

1. Вероятность того, что перегорит только одна лампочка:
В этом случае нам необходимо выбрать одну из всех \(n\) лампочек, которая перегорит, а остальные \(n-1\) должны остаться работоспособными. Таким образом, вероятность составляет:
\[P_1 = C_n^1 \cdot (p \cdot (1-p)^{n-1})\]
Где \(C_n^1\) обозначает количество способов выбрать одну лампочку из \(n\).

2. Вероятность того, что перегорят ровно две лампочки:
Здесь нам нужно выбрать две лампочки из всех \(n\) лампочек, которые перегорят, и оставить остальные \(n-2\) в рабочем состоянии:
\[P_2 = C_n^2 \cdot (p^2 \cdot (1-p)^{n-2})\]
Где \(C_n^2\) обозначает количество способов выбрать две лампочки из \(n\).

3. Вероятность того, что перегорят ровно три лампочки:
В этом случае нам нужно выбрать три лампочки из всех \(n\) лампочек, которые перегорят, и оставить остальные \(n-3\) в рабочем состоянии:
\[P_3 = C_n^3 \cdot (p^3 \cdot (1-p)^{n-3})\]
Где \(C_n^3\) обозначает количество способов выбрать три лампочки из \(n\).

Итак, чтобы найти общую вероятность, нужно сложить вероятности всех трех случаев:
\[P = P_1 + P_2 + P_3\]

Это детальное объяснение позволяет понять, какова вероятность перегорания одной, двух или трех лампочек в гирлянде в течение года.