Дана функция y=25−x2. Постройте график функции y=25−x2. а) Каковы координаты вершины параболы? (в пунктах б), в

Артемовна

33

Хорошо! Давайте решим поставленные вопросы.

а) Для построения графика функции \(y = 25 - x^2\) мы должны найти координаты вершины параболы. Функция имеет вид параболы ветвями вниз, так как коэффициент перед \(x^2\) отрицательный. Общая формула вершины параболы имеет вид \(V(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты перед \(x^2\) и \(x\) соответственно. В данном случае \(a = -1\) и \(b = 0\), поэтому координаты вершины параболы будут \((0, 25)\).

б) Чтобы найти значения аргумента, при которых значения функции являются положительными, мы должны решить неравенство \(25 - x^2 > 0\). Перенеся все члены влево, получим \(x^2 - 25 < 0\). Это неравенство эквивалентно \(x^2 < 25\), тогда \(x < 5\) и \(x > -5\). Таким образом, значения аргумента, при которых значения функции являются положительными, это \((-5, 5)\).

в) Чтобы определить, при каких значениях аргумента функция является возрастающей, мы должны найти интервал, на котором производная функции положительна. Берем первую производную от функции \(y = 25 - x^2\), получаем \(y" = -2x\). Поскольку производная отрицательна при \(x > 0\) и положительна при \(x < 0\), то функция является возрастающей на интервале \((-\infty, 0)\).

г) Чтобы найти интервал, на котором функция \(y = 25 - x^2\) является убывающей, мы должны определить интервал, на котором производная функции отрицательна. Мы уже вычислили производную функции ранее: \(y" = -2x\). Поскольку производная отрицательна при \(x > 0\) и положительна при \(x < 0\), функция является убывающей на интервале \((0, +\infty)\).

Теперь давайте проведем проверку, сравнив график функции с результатами, которые мы получили при решении задачи.