Дана функция y=25−x2. Постройте график функции y=25−x2. а) Каковы координаты вершины параболы? (в пунктах б), в

Артемовна

33

Хорошо! Давайте решим поставленные вопросы.

а) Для построения графика функции $y=25-x^2$ мы должны найти координаты вершины параболы. Функция имеет вид параболы ветвями вниз, так как коэффициент перед $x^2$ отрицательный. Общая формула вершины параболы имеет вид $V(-\frac{b}{2a},f(-\frac{b}{2a}))$, где $a$ и $b$ - коэффициенты перед $x^2$ и $x$ соответственно. В данном случае $a=-1$ и $b=0$, поэтому координаты вершины параболы будут $(0,25)$.

б) Чтобы найти значения аргумента, при которых значения функции являются положительными, мы должны решить неравенство $25-x^2>0$. Перенеся все члены влево, получим $x^2-25<0$. Это неравенство эквивалентно $x^2<25$, тогда $x<5$ и $x>-5$. Таким образом, значения аргумента, при которых значения функции являются положительными, это $(-5,5)$.

в) Чтобы определить, при каких значениях аргумента функция является возрастающей, мы должны найти интервал, на котором производная функции положительна. Берем первую производную от функции $y=25-x^2$, получаем $y"=-2x$. Поскольку производная отрицательна при $x>0$ и положительна при $x<0$, то функция является возрастающей на интервале $(-\mathrm{\infty },0)$.

г) Чтобы найти интервал, на котором функция $y=25-x^2$ является убывающей, мы должны определить интервал, на котором производная функции отрицательна. Мы уже вычислили производную функции ранее: $y"=-2x$. Поскольку производная отрицательна при $x>0$ и положительна при $x<0$, функция является убывающей на интервале $(0,+\mathrm{\infty })$.

Теперь давайте проведем проверку, сравнив график функции с результатами, которые мы получили при решении задачи.