Постройте векторы x, y и z так, чтобы векторы x и y были параллельными, а векторы x и z не были параллельными

Зимний_Мечтатель_3725

34

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться двумя свойствами векторов: параллельностью и антипараллельностью.

а) Для построения вектора \(x+z\) нам нужно сложить векторы \(x\) и \(z\). Поскольку векторы \(x\) и \(y\) должны быть параллельными, то можно взять два произвольных параллельных вектора. Например, вектор \(x\) равен \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), а вектор \(y\) равен \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Вектор \(z\) будет антипараллелен вектору \(x\), поэтому можно взять вектор \(z\) равный \(-\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Теперь сложим векторы \(x\) и \(z\):
\[
x + z = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + (-\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 1-1 \\ 0-0 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]

Итак, вектор \(x+z\) равен \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).

б) Для построения вектора \(x-z\) нам нужно вычесть вектор \(z\) из вектора \(x\). Мы уже знаем, что \(x\) равен \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), а \(z\) равен \(- \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Вычтем вектор \(z\) из вектора \(x\):
\[
x - z = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - (-\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 1+1 \\ 0-0 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]

Итак, вектор \(x-z\) равен \(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).

в) Для построения вектора \(-2y+\frac{1}{2}z-x\) нам нужно выполнить указанные операции с векторами. Мы уже знаем значения векторов \(x\), \(y\) и \(z\) из предыдущих пунктов.

Выполним указанные операции:
\[
-2y + \frac{1}{2}z - x = -2\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{2}(-\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}) - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 - \frac{1}{2} - 1 \\ 0-0-0 \\ 0-0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{11}{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\]

Итак, вектор \(-2y+\frac{1}{2}z-x\) равен \(\begin{pmatrix} -\frac{11}{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).