Предоставьте доказательство того, что четырехугольник abcd является параллелограммом, и найдите центр его симметрии

Rodion

37

Для начала докажем, что стороны противоположные каждой пары сторон параллельны.

Сторона AB имеет векторное уравнение \(\overrightarrow{AB} = \begin{bmatrix} -5-(-2) \\ -6-(-4) \\ -1-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ -2 \\ -2 \end{bmatrix}\).

Сторона CD имеет векторное уравнение \(\overrightarrow{CD} = \begin{bmatrix} 7-4 \\ 10-10 \\ 3-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\).

Сторона BC имеет векторное уравнение \(\overrightarrow{BC} = \begin{bmatrix} 4-(-5) \\ 10-(-6) \\ 3-(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ 16 \\ 4 \end{bmatrix}\).

Сторона AD имеет векторное уравнение \(\overrightarrow{AD} = \begin{bmatrix} 7-(-2) \\ 10-(-4) \\ 3-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ 14 \\ 2 \end{bmatrix}\).

Проверим, что \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) коллинеарны.
Для этого можно делить соответствующие координаты этих векторов: \(-3 / 3 = -2 / 0 = -2 / 0\).

Аналогично, \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AD}\) тоже коллинеарны, потому что \(9 / 9 = 16 / 14 = 4 / 2\).

Теперь, докажем, что противоположные стороны равны по длине.

Длина стороны AB равна \(\sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17}\).

Длина стороны DC равна \(\sqrt{3^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3\).

Длина стороны BC равна \(\sqrt{9^2 + 16^2 + 4^2} = \sqrt{81 + 256 + 16} = \sqrt{353}\).

Длина стороны AD равна \(\sqrt{9^2 + 14^2 + 2^2} = \sqrt{81 + 196 + 4} = \sqrt{281}\).

Таким образом, мы получили, что противоположные стороны AB и DC имеют равные длины, как и противоположные стороны BC и AD.

Из этих двух фактов следует, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Чтобы найти центр симметрии параллелограмма ABCD, нужно найти середину отрезка между двумя его диагоналями. Диагонали отрезка AC и BD.

Координаты середины отрезка AC можно найти, взяв полусумму соответствующих координат. Они равны: \((\frac{-2+4}{2}; \frac{-4+10}{2}; \frac{1+3}{2}) = (1; 3; 2)\).

Координаты середины отрезка BD равны: \((\frac{-5+7}{2}; \frac{-6+14}{2}; \frac{-1+3}{2}) = (1; 4; 1)\).

Таким образом, центр симметрии параллелограмма ABCD находится в точке (1; 3; 2).