При известном среднем квадратическом отклонении σ = 40, из генеральной совокупности была взята выборка размером n

Пингвин

41

Для проверки данной гипотезы мы можем использовать критерий Стьюдента. Для его применения необходимо вычислить значение статистики t, которое определяется следующей формулой:

\[t = \frac{x_̅ - a_0}{\frac{σ}{\sqrt{n}}}\]

Где:
- \(x_̅\) - выборочное среднее,
- \(a_0\) - значение параметра в нулевой гипотезе,
- σ - среднеквадратическое отклонение,
- n - размер выборки.

Исходя из данного условия, у нас есть следующие значения:
- \(x_̅ = 136.5\) (выборочное среднее),
- \(a_0 = 130\) (значение параметра в нулевой гипотезе),
- σ = 40 (среднеквадратическое отклонение),
- n = 64 (размер выборки).

Подставляя эти значения в формулу, мы получаем:

\[t = \frac{136.5 - 130}{\frac{40}{\sqrt{64}}}\]

Вычисляем вторую часть формулы:

\[\frac{40}{\sqrt{64}} = \frac{40}{8} = 5\]

Теперь можем вычислить значение статистики t:

\[t = \frac{136.5 - 130}{5} = \frac{6.5}{5} = 1.3\]

Далее, чтобы проверить гипотезу, нам необходимо определить, в какой критической области находится значение статистики t.

На уровне значимости 0,01 и при заданной альтернативной гипотезе H1: а ≠ 130, мы должны использовать двустороннюю критическую область. То есть, мы ищем значения t, которые попадают за пределы диапазона, определяемого критическими значениями.

Для нахождения этих критических значений мы можем воспользоваться таблицей распределения Стьюдента. Исходя из размера выборки n = 64 и заданного уровня значимости 0,01, находим критические значения t:

Так как используется двусторонняя критическая область, нам необходимо найти два значения t: t1 и t2.

- Для левого конца критической области: \(t_1 = t_{\alpha/2, \: n-1} = t_{0.005, \: 63}\)
- Для правого конца критической области: \(t_2 = t_{1-\alpha/2, \: n-1} = t_{0.995, \: 63}\)

Из таблицы распределения Стьюдента найдены следующие значения:

- \(t_{0.005, \: 63} = -2.66\) (левый конец критической области)
- \(t_{0.995, \: 63} = 2.66\) (правый конец критической области)

Таким образом, наша критическая область для данной гипотезы будет определена как все значения t, меньшие -2.66 или большие 2.66.

Теперь мы можем принять решение о гипотезе, сравнив значение статистики t с критической областью.

В данном случае значение t = 1.3 не попадает в критическую область, так как оно лежит между -2.66 и 2.66. Это означает, что мы не имеем достаточных оснований отвергнуть нулевую гипотезу H0.

Таким образом, результаты статистического теста не дают подтверждения альтернативной гипотезе H1 на уровне значимости 0,01. Мы не имеем оснований считать, что среднее значение параметра а не равно 130.