При каких значениях b функция у=3х2-bх+1 увеличивается на интервале от 3 до положительной бесконечности?

Буся

16

Чтобы определить, при каких значениях \(b\) функция \(y = 3x^2 - bx + 1\) будет увеличиваться на интервале от 3 до положительной бесконечности, нам необходимо проанализировать её поведение.

Для начала, давайте найдем производную этой функции. Поскольку у нас есть квадратичная функция, вероятно, что производная будет полиномом первой степени. Производная позволит нам определить поведение функции.

Для вычисления производной функции \(y = 3x^2 - bx + 1\) мы должны продифференцировать каждый её член по отдельности. Когда у нас есть сумма нескольких членов, мы можем дифференцировать каждый из них независимо.

Дифференцируем \(3x^2 - bx + 1\) по \(x\), учитывая, что константа 1 дифференцируется в 0:

\[\frac{d}{dx}(3x^2 - bx + 1) = \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(bx) + \frac{d}{dx}(1)\]

Вычисляем производные по отдельности:

\[\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x\] (Используем правило степенной функции, где производная \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\))

\[\frac{d}{dx}(bx) = b\] (Используем правило производной постоянной, где производная постоянной равна 0)

\[\frac{d}{dx}(1) = 0\) (Используем правило производной постоянной)

Теперь, объединяя все вычисленные производные, получаем:

\[\frac{d}{dx}(3x^2 - bx + 1) = 6x - b\]

Для того чтобы понять, когда функция \(y = 3x^2 - bx + 1\) увеличивается, нужно проанализировать знак производной \(6x - b\).

Если производная положительна (\(\frac{d}{dx}(3x^2 - bx + 1) > 0\)), то функция будет увеличиваться. Если производная отрицательна (\(\frac{d}{dx}(3x^2 - bx + 1) < 0\)), функция будет убывать.

Мы хотим узнать значения \(b\), при которых производная положительна на интервале от 3 до положительной бесконечности (\(x > 3\)). Для этого нужно найти, при каких значениях \(b\) выражение \(6x - b\) положительно при \(x > 3\).

Поскольку у нас нет дополнительной информации о \(x\), мы должны предположить, что \(x\) может быть любым положительным числом, большим 3. Так как \(x\) может быть очень большим числом, мы предполагаем, что \(6x\) будет доминировать над \(b\) в выражении \(6x - b\).

Исходя из предположения, что \(6x\) доминирует над \(b\), мы можем сказать, что выражение \(6x - b\) будет положительным при всех значениях \(b\), меньших 6x.

Таким образом, для того чтобы функция \(y = 3x^2 - bx + 1\) увеличивалась на интервале от 3 до положительной бесконечности (\(x > 3\)), нам необходимо, чтобы \(b\) было меньше, чем 6x.

Итак, при значениях \(b < 6x\) функция \(y = 3x^2 - bx + 1\) будет увеличиваться на интервале от 3 до положительной бесконечности.