При каких значениях числа a функция f(x)=x²+ax-2a не имеет корней?

Мартышка

32

Хорошо! Давайте решим эту задачу.

Для начала, нужно понять, когда функция $f(x)=x^2+ax-2a$ не имеет корней. Корнем функции является значение $x$, при котором функция обращается в ноль, то есть $f(x)=0$. Если функция не имеет корней, то это означает, что уравнение $f(x)=0$ не имеет решений.

Давайте найдем условия, при которых уравнение $f(x)=0$ не имеет решений. Для этого воспользуемся дискриминантом уравнения $f(x)$. Дискриминант - это выражение под знаком радикала в формуле для нахождения корней квадратного уравнения. Для нашего уравнения $f(x)$ дискриминант будет равен:

$$D=a^2-4(-2a)$$

Для того, чтобы уравнение $f(x)$ не имело корней, дискриминант должен быть меньше нуля, то есть $D<0$. Подставляя значение $D$ и раскрывая скобки, получим:

$$a^2+8a<0$$

Теперь нам нужно найти интервалы значений для переменной $a$, при которых неравенство $a^2+8a<0$ выполняется. Для этого можно воспользоваться методом знаков.

1) Рассмотрим случай, когда $a>0$. Тогда $a^2$ и $8a$ будут положительными числами, так как умножение положительных чисел дает положительный результат. Таким образом, неравенство $a^2+8a<0$ не выполняется для положительных значений $a$.

2) Рассмотрим случай, когда $a<0$. Тогда $a^2$ будет положительным числом, а $8a$ - отрицательным числом, так как умножение отрицательного числа на положительное даёт отрицательный результат. Следовательно, неравенство $a^2+8a<0$ выполняется для отрицательных значений $a$.

Итак, мы получили, что функция $f(x)=x^2+ax-2a$ не имеет корней при значениях $a<0$.

Я надеюсь, что пошаговое решение было понятным. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!