При каких значениях числа a функция f(x)=x²+ax-2a не имеет корней?

Мартышка

32

Хорошо! Давайте решим эту задачу.

Для начала, нужно понять, когда функция \(f(x) = x^2 + ax - 2a\) не имеет корней. Корнем функции является значение \(x\), при котором функция обращается в ноль, то есть \(f(x) = 0\). Если функция не имеет корней, то это означает, что уравнение \(f(x) = 0\) не имеет решений.

Давайте найдем условия, при которых уравнение \(f(x) = 0\) не имеет решений. Для этого воспользуемся дискриминантом уравнения \(f(x)\). Дискриминант - это выражение под знаком радикала в формуле для нахождения корней квадратного уравнения. Для нашего уравнения \(f(x)\) дискриминант будет равен:

\[D = a^2 - 4(-2a)\]

Для того, чтобы уравнение \(f(x)\) не имело корней, дискриминант должен быть меньше нуля, то есть \(D < 0\). Подставляя значение \(D\) и раскрывая скобки, получим:

\[a^2 + 8a < 0\]

Теперь нам нужно найти интервалы значений для переменной \(a\), при которых неравенство \(a^2 + 8a < 0\) выполняется. Для этого можно воспользоваться методом знаков.

1) Рассмотрим случай, когда \(a > 0\). Тогда \(a^2\) и \(8a\) будут положительными числами, так как умножение положительных чисел дает положительный результат. Таким образом, неравенство \(a^2 + 8a < 0\) не выполняется для положительных значений \(a\).

2) Рассмотрим случай, когда \(a < 0\). Тогда \(a^2\) будет положительным числом, а \(8a\) - отрицательным числом, так как умножение отрицательного числа на положительное даёт отрицательный результат. Следовательно, неравенство \(a^2 + 8a < 0\) выполняется для отрицательных значений \(a\).

Итак, мы получили, что функция \(f(x) = x^2 + ax - 2a\) не имеет корней при значениях \(a < 0\).

Я надеюсь, что пошаговое решение было понятным. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!