При каких значениях параметра а квадратное уравнение ax^2 + x - a - 2 = 0 будет лишено корней?

Единорог_5520

36

Для того чтобы узнать, при каких значениях параметра \(a\) квадратное уравнение \(ax^2 + x - a - 2 = 0\) будет лишено корней, мы можем использовать дискриминант \(D\).

Дискриминант определяется следующим образом: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае \(a = a\), \(b = 1\) и \(c = -a - 2\). Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

\(D = (1)^2 - 4(a)(-a - 2) = 1 + 4a^2 + 8a\).

Теперь, чтобы найти значения параметра \(a\), при которых уравнение лишено корней, необходимо рассмотреть два случая:

1. Когда дискриминант \(D\) меньше нуля: \(D < 0\).
Если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней, и они отсутствуют. Подставим значение \(D\) и решим неравенство:

\(1 + 4a^2 + 8a < 0\).

Так как это квадратное неравенство, мы можем найти его решение, решив соответствующее квадратное уравнение \(1 + 4a^2 + 8a = 0\). Получим два значения \(a_1\) и \(a_2\).

2. Когда дискриминант \(D\) равен нулю: \(D = 0\).
Если \(D = 0\), то уравнение имеет единственный действительный корень. Подставим значение \(D\) и решим уравнение:

\(1 + 4a^2 + 8a = 0\).

Получим значение \(a_3\).

Итак, при решении неравенства \(1 + 4a^2 + 8a < 0\) мы получаем два значения \(a_1\) и \(a_2\), а при решении уравнения \(1 + 4a^2 + 8a = 0\) получаем значение \(a_3\).

Окончательный ответ: Квадратное уравнение \(ax^2 + x - a - 2 = 0\) будет лишено корней при \(a < a_1\) или \(a_2 < a < a_3\), где \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\) - значения параметра \(a\), полученные при решении неравенства и уравнения, как было описано выше.