При каких значениях параметра p уравнение x^3-3px+16=0 будет иметь только два различных корня?

Яблонька_1707

59

Чтобы уравнение \(x^3 - 3px + 16 = 0\) имело только два различных корня, нужно, чтобы третий корень был кратным. Давайте пошагово решим это уравнение и найдем значения параметра \(p\).

Шаг 1: Используя многочленное уравнение третьей степени, мы можем применить метод кратных корней или синтетического деления для нахождения корней.

Первым шагом применим метод кратных корней. Найдем корни многочлена \(x^3 - 3px + 16 = 0\), полагая, что \(x = a\) является корнем данного уравнения.

Делаем подстановку \(a\) в уравнение и получаем:
\[a^3 - 3pa + 16 = 0\]

Шаг 2: Если \(x = a\) является корнем данного уравнения, то согласно теореме о корнях многочленов, \((x - a)\) является делителем многочлена \(x^3 - 3px + 16\).

Выполнив синтетическое деление, мы можем разделить \(x^3 - 3px + 16\) на \(x - a\) и узнать, какое условие для параметра \(p\) должно быть выполнено, чтобы иметь кратность корня.

Шаг 3: Исходя из наших предположений, если синтетическое деление \(x^3 - 3px + 16\) на \(x - a\) приводит к нулю остатку, то \(a\) является корнем многочлена. Найдем значение остатка при делении.

Синтетическое деление выглядит следующим образом:

\[
\begin{array}{c|ccc}
& a & -3p & 16 \\
\hline
a & & a^2 & (a^2-3p)a+16 \\
\end{array}
\]

Остаток от деления равен \(a^2 - 3pa + 16\).

Шаг 4: Остаток от деления должен быть равен нулю, поскольку мы ищем кратность корней. То есть, мы имеем условие:

\[a^2 - 3pa + 16 = 0\]

Шаг 5: Мы знаем, что уравнение имеет два различных корня, поэтому дискриминант \(D\) должен быть положительным. Так как мы получили квадратное уравнение, найдем дискриминант:

\[D = (-3p)^2 - 4(1)(16) = 9p^2 - 64\]

Шаг 6: Для того чтобы уравнение имело только два различных корня, необходимо, чтобы дискриминант был положительным (\(D > 0\)) и \(a^2 - 3pa + 16 = 0\) имел корни.

Теперь найдем значения параметра \(p\), удовлетворяющие этим условиям.

1) Дискриминант: \(9p^2 - 64 > 0\)

Решим неравенство:
\[9p^2 > 64\]
\[p^2 > \frac{64}{9}\]
\[p > \pm \frac{8}{3}\]

2) Корни квадратного уравнения:
\[a^2 - 3pa + 16 = 0\]

Решим это квадратное уравнение используя формулу корней:

\[a = \frac{-(-3p) \pm \sqrt{(-3p)^2 - 4(1)(16)}}{2(1)}\]

Сократим:

\[a = \frac{3p \pm \sqrt{9p^2 - 64}}{2}\]

Шаг 7: В итоге, чтобы уравнение \(x^3 - 3px + 16 = 0\) имело только два различных корня, параметр \(p\) должен удовлетворять следующим условиям:

\[p > \frac{8}{3}\] и
\[3p^2 - 64 > 0\]

Если значения параметра \(p\) удовлетворяют этим двум условиям, то уравнение \(x^3 - 3px + 16 = 0\) будет иметь только два различных корня.