При каком значении C прямая {3x - 2y + z + 3 = 0 {4x -3y + 4z + 1 = 0 будет параллельна плоскости 2x - y + cz - 2

Вероника_4009

3

Для того чтобы найти значение переменной C, при котором прямая будет параллельна плоскости, мы можем использовать векторное произведение нормалей прямой и плоскости.

Начнем с уравнения прямой в параметрической форме:

\[\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}\]

У нас есть две точки, через которые проходит прямая: A(-3,0,0) и B(2,1,-1). Найдем вектор AB:

\[\vec{AB} = (2 - (-3), 1 - 0, -1 - 0) = (5, 1, -1)\]

Вектор направления прямой можно записать как \(\vec{v} = (a, b, c)\). Подставим точки A и B в уравнение прямой, чтобы получить систему уравнений:

\[\begin{cases} -3 = -3a \\ 0 = -3b \\ 0 = -3c \end{cases}\]

Решением этой системы является \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = 0\). Таким образом, вектор направления прямой будет \(\vec{v} = (1, 0, 0)\).

Теперь рассмотрим уравнение плоскости \(2x - y + cz - 2 = 0\). У плоскости нормальный вектор \(\vec{n} = (2, -1, c)\).

Для того чтобы прямая была параллельна плоскости, необходимо, чтобы вектор направления прямой \(\vec{v}\) и нормальный вектор плоскости \(\vec{n}\) были коллинеарны, то есть параллельны или взаимно пропорциональны. Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны:

\[\frac{1}{2} = \frac{0}{-1} = \frac{0}{c}\]

Из второй дроби следует, что \(c\) может равняться любому значению, кроме 0. Однако, если \(c = 0\), то прямая будет параллельна плоскости только при \(a = b = 0\), что не соответствует исходным данным, поэтому исключаем этот случай.

Таким образом, прямая будет параллельна плоскости при любом значении \(C\), кроме \(C = 0\).

Ответ: Прямая {3x - 2y + z + 3 = 0} и плоскость {4x - 3y + 4z + 1 = 0} будут параллельными при любом значении переменной \(C\), кроме \(C = 0\).