При каком значении x числа 3х, (х+2) 2, и 2х-1 образуют арифметическую прогрессию?

Sladkaya_Vishnya

32

Чтобы определить, при каком значении \(x\) числа \(3x\), \(\frac{{(x+2)}}{2}\) и \(2x-1\) образуют арифметическую прогрессию, мы должны убедиться, что разница между каждыми двумя последовательными членами является постоянной.

Давайте сначала найдем разницу между первым и вторым членами последовательности. Первый член равен \(3x\), а второй член равен \(\frac{{(x+2)}}{2}\). Разница между ними будет:

\(\frac{{(x+2)}}{2} - 3x\)

Для того, чтобы разница была постоянной, мы должны установить эту разницу равной разнице между вторым и третьим членами последовательности. То есть:

\(\frac{{(x+2)}}{2} - 3x = (2x - 1) - \frac{{(x+2)}}{2}\)

Давайте решим эту уравнение шаг за шагом:

Умножим каждую часть уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

\(2 \cdot (\frac{{(x+2)}}{2} - 3x) = 2 \cdot ((2x - 1) - \frac{{(x+2)}}{2})\)

Упростим каждую часть уравнения:

\(x+2 - 6x = 4x - 2 - \frac{{(x+2)}}{2}\)

Просуммируем \(4x\) и \(\frac{{(x+2)}}{2}\) на правой стороне уравнения:

\(x+2 - 6x = 4x - 2 - \frac{{(x+2)}}{2} + 4x + \frac{{(x+2)}}{2}\)

Упростим правую сторону уравнения:

\(x+2 - 6x = 8x - 2\)

Вычтем \((x+2)\) из каждой стороны уравнения:

\(x - 5x = 8x - 4\)

Упростим уравнение:

\(-4x = 8x - 4\)

Перенесем \(8x\) на левую сторону, изменяя знак:

\(-12x = -4\)

Разделим обе стороны уравнения на \(-12\), чтобы выразить \(x\):

\(x = \frac{{-4}}{{-12}}\)

Упростим дробь:

\(x = \frac{1}{3}\)

Таким образом, при \(x = \frac{1}{3}\) числа \(3x\), \(\frac{{(x+2)}}{2}\) и \(2x-1\) образуют арифметическую прогрессию.