При увеличении каждого члена арифметической прогрессии с разностью d на 3, будет ли новая последовательность также

Мистическая_Феникс

47

Чтобы понять, будет ли новая последовательность также арифметической прогрессией, нужно рассмотреть определение арифметической прогрессии и проанализировать изменения, которые происходят при увеличении каждого члена на 3.

Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается путем прибавления к предыдущему одной и той же разности. Другими словами, каждый член последовательности можно выразить формулой \(a_n = a_1 + (n-1)d\), где \(a_n\) - n-й член последовательности, \(a_1\) - первый член последовательности, \(d\) - разность прогрессии, \(n\) - номер члена последовательности.

Давайте рассмотрим случай, когда увеличиваем каждый член арифметической прогрессии на 3. Пусть первый член последовательности равен \(a_1\) и разность прогрессии - \(d\). Тогда новый член последовательности будет \(a_1 + 3\), следующий - \((a_1 + 3) + d\), затем \((a_1 + 3) + 2d\), и так далее.

Теперь давайте заменим новый член последовательности на \(b_n\). Тогда мы можем записать формулу для новой последовательности: \(b_n = (a_1 + 3) + (n-1)d\).

Чтобы узнать, будет ли новая последовательность также арифметической прогрессией, нужно сравнить \(b_n\) с \(b_{n+1}\) и увидеть, будет ли разность между ними постоянной.

Вычислим \(b_{n+1}\) по формуле:

\[b_{n+1} = (a_1 + 3) + (n+1-1)d = (a_1 + 3) + nd\]

Теперь вычислим их разность:

\[\begin{align*}
b_{n+1} - b_n &= [(a_1 + 3) + nd] - [(a_1 + 3) + (n-1)d] \\
&= [(a_1 + 3) - (a_1 + 3)] + [nd - (n-1)d] \\
&= nd - nd + d \\
&= d
\end{align*}\]

В результате получили, что разность \(d\) между членами новой последовательности остается постоянной. Это означает, что новая последовательность также является арифметической прогрессией, и разность этой прогрессии равна \(d\).

Таким образом, если каждый член арифметической прогрессии с разностью \(d\) увеличивается на 3, то новая последовательность также будет арифметической прогрессией с той же разностью \(d\).