Проверьте, справедливо ли утверждение: вычитание 77 из 999 равно вычитанию 99 из 777. Как можно доказать это равенство

Vladislav

26

Чтобы доказать равенство между вычитанием 77 из 999 и вычитанием 99 из 777 без выполнения математических вычислений, мы можем использовать свойства арифметических операций.

Заметим, что оба числа 999 и 777 можно представить в виде произведения двух чисел по следующему образцу:

\[999 = 9 \times 111\]
\[777 = 7 \times 111\]

Теперь проанализируем выражения для вычитания:

\[999 - 77 = (9 \times 111) - (7 \times 11)\]
\[777 - 99 = (7 \times 111) - (9 \times 11)\]

Мы замечаем общий множитель 111 в обоих выражениях. Можем ли мы использовать эту информацию для доказательства равенства? Да!

Распишем оба выражения:

\[999 - 77 = 9 \times 111 - 7 \times 11\]
\[777 - 99 = 7 \times 111 - 9 \times 11\]

Теперь давайте сократим оба выражения на общий множитель 111:

\[999 - 77 = 9 \times 111 - 7 \times 11 = 9 \times 111 - 7 \times 11 \times \frac{{111}}{{111}} = 111 \times (9 - 7) - 77 \times \frac{{111}}{{11}}\]
\[777 - 99 = 7 \times 111 - 9 \times 11 = 7 \times 111 - 9 \times 11 \times \frac{{111}}{{111}} = 111 \times (7 - 9) - 99 \times \frac{{111}}{{11}}\]

Мы видим, что после сокращения общего множителя 111, оба выражения имеют одинаковые разности: \((9 - 7)\) и \((7 - 9)\). Это позволяет нам заключить, что они равны:

\[999 - 77 = 777 - 99\]

Таким образом, мы доказали равенство между вычитанием 77 из 999 и вычитанием 99 из 777 без выполнения действий над числами.

Чтобы предоставить другие примеры аналогичных равенств, давайте рассмотрим следующие выражения:

1. \(555 - 111 = 333 - 0\)
2. \(444 - 222 = 222 - 0\)
3. \(888 - 222 = 666 - 0\)

Во всех этих примерах, мы можем использовать свойства арифметических операций и сокращение общих множителей, чтобы показать равенство без выполнения математических вычислений.