Решите. Найдите среднее значение всех целых решений неравенства (7 - x)(3x - 3) > 0. 8.14. Найдите сумму первых десяти

Егор

65

8.14. Чтобы найти среднее значение всех целых решений неравенства \((7 - x)(3x - 3) > 0\), нам нужно сначала найти все целые решения этого неравенства, а затем найти их среднее значение.

Начнем с разложения неравенства на множители:
\((7 - x)(3x - 3) > 0\)

Раскрываем скобки:
\(21x - 3x^2 - 21 + 3 > 0\)

Упрощаем:
\(-3x^2 + 21x - 18 > 0\)

Теперь нам нужно найти все значения \(x\), для которых это неравенство выполняется. Чтобы это сделать, мы можем построить график уравнения \(y = -3x^2 + 21x - 18\) и найти интервалы, на которых график находится выше оси \(x\).

Для этого найдем вершины параболы. Во-первых, найдем ось симметрии:
\[x = \frac{-b}{2a} = \frac{-21}{2(-3)} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}\]

Теперь подставим это значение в уравнение, чтобы найти значение \(y\):
\[y = -3\left(\frac{7}{2}\right)^2 + 21\left(\frac{7}{2}\right) - 18\]
\[y = -3\cdot\frac{49}{4} + \frac{147}{2} - 18\]
\[y = -\frac{147}{4} + \frac{147}{2} - 18\]
\[y = -\frac{147}{4} + \frac{294}{4} - \frac{72}{4}\]
\[y = \frac{75}{4}\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \(\left(\frac{7}{2}, \frac{75}{4}\right)\).

Теперь знаем, что парабола открывается вниз. Из графика видно, что парабола находится выше оси \(x\) на интервалах \(\left(-\infty, \frac{7}{2}\right)\) и \(\left(\frac{9}{2}, +\infty\right)\).

Интервалы, на которых неравенство выполняется, это интервалы, на которых функция является положительной, то есть \(\left(-\infty, \frac{7}{2}\right)\) и \(\left(\frac{9}{2}, +\infty\right)\).

Теперь нам нужно найти все целые числа в этих интервалах. Достаточно перебрать все целые числа от -∞ до +∞ и проверить, выполняется ли условие неравенства для каждого числа. Но, поскольку это задача на нахождение среднего значения, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии.

Общий вид суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом:
\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

Где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - последний член прогрессии.

В данном случае мы знаем первый член арифметической прогрессии (\(a_1 = -4\)) и разность (\(d = 2\)). Мы хотим найти, сколько членов прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна 84.

Используя формулу для суммы арифметической прогрессии, мы можем записать:
\[S_n = \frac{n}{2}(-4 + (-4 + (n-1)d)) = 84\]

Раскрываем скобки:
\[\frac{n}{2}(-4 + (-4n + 4 - d)) = 84\]
\[\frac{n}{2}(-4 - 4n + 4 - 2) = 84\]
\[\frac{n}{2}(-8 - 4n + 2) = 84\]
\[\frac{n}{2}(-6 - 4n) = 84\]
\[-3n - 2n^2 = 84\]

Это квадратное уравнение. Чтобы найти корни уравнения, мы можем использовать метод дискриминанта или факторизацию.

Поскольку это задача на нахождение среднего значения, мы можем использовать формулу для среднего арифтметического:
\[x = \frac{\text{сумма всех корней}}{\text{количество корней}}\]

Таким образом, нам нужно найти сумму всех корней и количество корней.

Заметим, что данное уравнение имеет два корня.

Используя формулу для суммы корней и произведения корней, мы можем записать:
\[\text{Сумма корней} = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{-2} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}\]
\[\text{Произведение корней} = \frac{c}{a} = \frac{84}{-2} = -42\]

Таким образом, сумма всех корней равна \(-\frac{3}{2}\) и у нас есть два корня.

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения среднего арифметического:
\[x = \frac{\text{сумма всех корней}}{\text{количество корней}} = \frac{-\frac{3}{2}}{2} = -\frac{3}{4}\]

Ответ: Среднее значение всех целых решений неравенства \((7 - x)(3x - 3) > 0\) равно \(-\frac{3}{4}\).

8.15. Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (bп), если \(b_3 = 18\) и знаменатель \(q = 3\), мы можем использовать формулу для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
\[S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\]

Где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии.

В данном случае у нас не дан первый член прогрессии, но мы знаем \(b_3 = 18\), что означает, что третий член равен 18.

При использовании общего вида геометрической прогрессии \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\), мы можем записать:
\(b_3 = a_1 \cdot 3^{3-1} = a_1 \cdot 3^2 = a_1 \cdot 9\)

Если мы знаем, что \(b_3 = 18\), мы можем решить это уравнение:
\(18 = a_1 \cdot 9\)

Разрешим относительно \(a_1\):
\(a_1 = \frac{18}{9} = 2\)

Теперь у нас есть значение \(a_1\) и значение \(q\). Теперь мы можем найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии:

\[S_5 = \frac{a_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{2(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{2(243 - 1)}{2} = \frac{2 \cdot 242}{2} = 242\]

Ответ: Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 242.

8.16. Если первый член арифметической прогрессии равен -4, а разность равна 2, то чтобы найти количество членов прогрессии, при котором их сумма равна 84, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:
\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

Где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - последний член прогрессии.

Мы знаем первый член арифметической прогрессии (\(a_1 = -4\)) и разность (\(d = 2\)). Мы хотим найти, сколько членов прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна 84.

Используя формулу для суммы арифметической прогрессии, мы можем записать:
\[S_n = \frac{n}{2}(-4 + (-4 + (n-1)d)) = 84\]

Раскрываем скобки:
\[\frac{n}{2}(-4 + (-4n + 4 - d)) = 84\]
\[\frac{n}{2}(-4 - 4n + 4 - 2) = 84\]
\[\frac{n}{2}(-8 - 4n + 2) = 84\]
\[\frac{n}{2}(-6 - 4n) = 84\]
\[-3n - 2n^2 = 84\]

Это квадратное уравнение. Чтобы найти корни уравнения, мы можем использовать метод дискриминанта или факторизацию.

Поскольку это задача на нахождение количества членов прогрессии, при котором их сумма равна 84, мы можем использовать формулу для суммы корней:
\[x = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{-2} = 1\]

Ответ: Нам нужно взять 1 член прогрессии, чтобы их сумма была равна 84.

8.17. Чтобы найти значения \(x\), при которых числа 1, \(x^2\), \(6 - x^2\) образуют геометрическую прогрессию, нам нужно сначала определить знаменатель геометрической прогрессии и затем найти все значения \(x\), для которых это условие выполняется.

Знаменатель геометрической прогрессии вычисляется следующим образом:
\(q = \frac{{a_2}}{{a_1}} = \frac{{x^2}}{{1}} = x^2\)

Теперь мы можем записать равенства для каждого члена геометрической прогрессии:
\[a_1 = 1\]
\[a_2 = x^2\]
\[a_3 = 6 - x^2\]

Поскольку числа образуют геометрическую прогрессию, мы можем записать равенство между любыми двумя соседними членами:
\[\frac{{a_2}}{{a_1}} = \frac{{a_3}}{{a_2}}\]
\[\frac{{x^2}}{{1}} = \frac{{6 - x^2}}{{x^2}}\]

Раскрываем скобки:
\[x^2 = \frac{{6 - x^2}}{{x^2}}\]

Умножаем обе части уравнения на \(x^2\):
\[x^4 = 6 - x^2\]

Переносим все члены уравнения на одну сторону:
\[x^4 + x^2 - 6 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Чтобы найти его корни, мы можем использовать метод факторизации или метод дискриминанта.

Решим это уравнение с помощью метода факторизации:
\[x^4 + x^2 - 6 = (x^2 + 3)(x^2 - 2) = 0\]

Для этого уравнения существует два корня:
\(x^2 + 3 = 0\) или \(x^2 - 2 = 0\)

Решим каждое из этих уравнений относительно \(x\):

\(x^2 + 3 = 0\) не имеет действительных корней, так как \(x^2\) не может быть отрицательным при действительных значениях \(x\).

\(x^2 - 2 = 0\) имеет два действительных корня:
\(x = \sqrt{2}\) и \(x = -\sqrt{2}\)

Таким образом, есть