с геометрией 1. Как изменится объем четырехугольной призмы, если увеличить сторону ее основания в 3 раза и уменьшить

Konstantin

44

четырехугольной призмы, если увеличить сторону ее основания в 3 раза и уменьшить высоту в 9 раз?

Для начала, давайте определим формулу для вычисления объема четырехугольной призмы. Объем призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту. Формула для нахождения объема четырехугольной призмы выглядит следующим образом:

\[ V = A \cdot h \]

где \( V \) - объем призмы, \( A \) - площадь основания, \( h \) - высота призмы.

1. Для начала у нас есть четырехугольная призма с площадью основания \( A \) и высотой \( h \). Мы хотим узнать, как изменится объем призмы, если увеличить сторону ее основания в 3 раза и уменьшить высоту в 9 раз.

Итак, пусть \( A_1 \) и \( h_1 \) будут новыми значениями площади основания и высоты соответственно после изменений.

Согласно условию, сторона основания увеличивается в 3 раза. Поэтому площадь основания новой призмы будет равна \( A_1 = 3A \).

Высота же уменьшается в 9 раз. Значит, новая высота призмы будет \( h_1 = \frac{h}{9} \).

Теперь, подставив новые значения площади основания и высоты в формулу для объема, получим:

\[ V_1 = A_1 \cdot h_1 = (3A) \cdot \left(\frac{h}{9}\right) = \frac{3Ah}{9} = \frac{Ah}{3} \]

Таким образом, объем призмы изменится и будет равен \(\frac{Ah}{3}\) после указанных изменений.

2.
а) Сначала найдем объем цилиндра с полусферической крышкой. Формула для объема цилиндра выглядит следующим образом:

\[ V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h \]

где \( V_{\text{цилиндра}} \) - объем цилиндра, \( r \) - радиус цилиндра, а \( h \) - высота цилиндра.

У нас даны значения радиуса и высоты:
\( r = 6 \) см
\( h = 20 \) см

Подставим значения в формулу и посчитаем:
\[ V_{\text{цилиндра}} = \pi \cdot 6^2 \cdot 20 = 720\pi \, \text{см}^3 \]

Ответ: объем цилиндра с полусферической крышкой равен \( 720\pi \) кубических сантиметров.

б) Теперь посчитаем объем пустой параллелепипедообразной картонной коробки. Формула для объема прямоугольного параллелепипеда выглядит следующим образом:

\[ V_{\text{коробки}} = l \cdot w \cdot h_{\text{коробки}} \]

где \( V_{\text{коробки}} \) - объем коробки, \( l \) - длина коробки, \( w \) - ширина коробки, а \( h_{\text{коробки}} \) - высота коробки.

У нас даны значения длины, ширины и высоты:
\( l = 12 \) см
\( w = 12 \) см
\( h_{\text{коробки}} = 26 \) см

Подставим значения в формулу и посчитаем:
\[ V_{\text{коробки}} = 12 \cdot 12 \cdot 26 = 3744 \, \text{см}^3 \]

Ответ: объем пустой параллелепипедообразной картонной коробки составляет 3744 кубических сантиметра.

в) Зная, что объем точной копии цилиндрического контейнера равен 108, мы можем использовать эту информацию для определения высоты точной копии.

Используем формулу для объема цилиндра:
\[ V_{\text{точной копии}} = \pi r^2 h_{\text{точной копии}} \]

где \( V_{\text{точной копии}} \) - объем точной копии цилиндра, \( r \) - радиус цилиндра, \( h_{\text{точной копии}} \) - высота точной копии цилиндра.

У нас даны значения радиуса и объема:
\( r = 6 \) см
\( V_{\text{точной копии}} = 108 \) см³

Подставим значения в формулу и найдем высоту точной копии:
\[ 108 = \pi \cdot 6^2 \cdot h_{\text{точной копии}} \]
\[ 108 = 36\pi \cdot h_{\text{точной копии}} \]
\[ h_{\text{точной копии}} = \frac{108}{36\pi} \]

После упрощения получаем:
\[ h_{\text{точной копии}} = \frac{3}{\pi} \]

Ответ: высота точной копии цилиндра равна \( \frac{3}{\pi} \) сантиметра.