С каким наименьшим натуральным K> 2020 сумма 1/(1+ 2^1/3 + 4^1/3) + 1/(4^1/3+ 6^1/3 + 9^1/3) + ... + 1/((k^2-2k+1)^1/3

Druzhok

35

Данная задача требует некоторого проявления математической сообразительности для того, чтобы найти наименьшее натуральное число K, при котором указанная сумма станет рациональной.

Для начала, давайте рассмотрим каждое слагаемое в сумме отдельно. Мы видим, что каждое слагаемое представляет собой дробь, где знаменатель содержит кубический корень.

Посмотрим на первое слагаемое в сумме: 1/(1 + 2^(1/3) + 4^(1/3)). Заметим, что знаменатель похож на куб суммы двух слагаемых вида a^(1/3) + b^(1/3). Мы можем представить эту сумму в виде (a + b)^(1/3). В нашем случае, a = 1, b = 2. Поэтому мы можем переписать знаменатель следующим образом: 1 + 2 = 3. Таким образом, первое слагаемое равно 1/3.

Аналогично, рассмотрим второе слагаемое: 1/(4^(1/3) + 6^(1/3) + 9^(1/3)). Заметим, что знаменатель похож на куб суммы трех слагаемых вида a^(1/3) + b^(1/3) + c^(1/3). В нашем случае a = 4, b = 6, c = 9. Поэтому мы можем переписать знаменатель следующим образом: (a + b + c)^(1/3) = (4 + 6 + 9)^(1/3) = 19^(1/3). Таким образом, второе слагаемое равно 1/(19^(1/3)).

Мы можем заметить, что каждое следующее слагаемое представляет собой сумму квадратов чисел, от которых мы уже избавились ранее.

Теперь мы видим закономерность. Каждое слагаемое можно представить в виде дроби, где знаменатель является кубическим корнем от суммы. К сожалению, нам необходимо, чтобы знаменатель был рациональным числом, то есть кубический корень от суммы должен быть рациональным числом.

Для того, чтобы это произошло, нам необходимо, чтобы сумма, от которой мы берем кубический корень, была квадратом рационального числа. Применим данное условие ко всем слагаемым в сумме.

Рассматривая первое слагаемое, сумма 1 + 2 равна 3, а это не является квадратом рационального числа.

Поступим аналогично со вторым слагаемым. Сумма 4 + 6 + 9 равна 19, что также не является квадратом рационального числа.

Продолжая процесс, мы замечаем, что каждая сумма будет не равна квадрату рационального числа.

Однако, при достижении некоторого значения K мы можем получить рациональное число.

Давайте посмотрим на следующую сумму: \((k^2 - 2k + 1)^{1/3} + (k^2 - k)^{1/3} + (k^{2/3})\).

Мы можем сделать несколько предположений, чтобы облегчить процесс поиска. Заметим, что каждый из трех членов в сумме может быть представлен в виде кубического корня от квадрата. Это позволяет нам переписать слагаемое следующим образом:

\[((k-1)^2)^{1/3} + ((k-1)k)^{1/3} + (k^2)^{1/3}\].

Заметим, что сумма \((k-1)^2 + (k-1)k + k^2\) является квадратом рационального числа.

Здесь мы видим, что если мы выберем K = 2021, то сумма будет равна 45^2 = 2025. Число 2025 является квадратом рационального числа, так как \(\sqrt{2025} = 45\) - рациональное число.

Таким образом, наименьшее натуральное число K, при котором сумма станет рациональной, равно 2021.