Сформулируйте уравнение плоскости, содержащей точки A и B, и определите расстояние от точки С до данной плоскости

Сквозь_Волны

60

Чтобы найти уравнение плоскости, содержащей точки A и B, мы можем воспользоваться следующим методом. Вектор нормали к плоскости можно найти как векторное произведение векторов AB и AC, где вектор AB – это разность координат B и A, а вектор AC – разность координат C и A. После этого мы можем использовать найденный вектор нормали, а также координаты точки A, чтобы записать уравнение плоскости в общем виде.

Итак, найдем вектор AB:
\[AB = B - A = (7; 2; 1) - (2; 3; -1) = (5; -1; 2).\]

Теперь найдем вектор AC:
\[AC = C - A = (7; 4; 2) - (2; 3; -1) = (5; 1; 3).\]

Вычислим векторное произведение AB и AC:
\[AB \times AC = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & -1 & 2 \\ 5 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (-1 \cdot 3 - 2 \cdot 1)\mathbf{i} - (5 \cdot 3 - 2 \cdot 5)\mathbf{j} + (5 \cdot 1 - (-1) \cdot 5)\mathbf{k} = (-5)\mathbf{i} - 5\mathbf{j} + 10\mathbf{k} = (-5; -5; 10).\]

Теперь мы можем использовать вектор нормали N = (-5; -5; 10) и координаты точки A(2; 3; -1), чтобы записать уравнение плоскости в общем виде. Обозначим координаты точки M на плоскости как (x, y, z). Тогда уравнение плоскости будет выглядеть следующим образом:
\[-5(x - 2) - 5(y - 3) + 10(z + 1) = 0.\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[-5x + 10 - 5y + 15 + 10z + 10 = 0,\]
\[-5x - 5y + 10z + 35 = 0.\]

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки A(2; 3; -1) и B(7; 2; 1), имеет вид:
\[-5x - 5y + 10z + 35 = 0.\]

Теперь давайте найдем расстояние от точки С(7; 4; 2) до этой плоскости. Расстояние между плоскостью и точкой можно вычислить по формуле:
\[d = \frac{{\left|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\right|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}},\]
где (x_0, y_0, z_0) - координаты точки, A, B, C - коэффициенты уравнения плоскости, а D - свободный член.

Подставим значения коэффициентов уравнения плоскости (-5, -5, 10) и координаты точки С(7, 4, 2) в формулу:
\[d = \frac{{\left|(-5 \cdot 7) + (-5 \cdot 4) + (10 \cdot 2) + 35\right|}}{{\sqrt{{(-5)^2 + (-5)^2 + 10^2}}}}.\]

Выполним вычисления:
\[d = \frac{{\left|-35 - 20 + 20 + 35\right|}}{{\sqrt{{25 + 25 + 100}}}}.\]
\[d = \frac{{\left|0\right|}}{{\sqrt{{150}}}}.\]
\[d = \frac{{0}}{{\sqrt{{150}}}}.\]
\[d = 0.\]

Таким образом, расстояние от точки С(7; 4; 2) до плоскости, проходящей через точки A(2; 3; -1) и B(7; 2; 1), равно 0. Это означает, что точка С лежит на этой плоскости.