Сформулируйте уравнение плоскости, содержащей точки A и B, и определите расстояние от точки С до данной плоскости

  • 32
Сформулируйте уравнение плоскости, содержащей точки A и B, и определите расстояние от точки С до данной плоскости.

Найдите уравнение плоскости, которая проходит через точки A(2; 3; -1) и B(7; 2; 1), а затем вычислите расстояние от точки С(7; 4; 2) до этой плоскости.
Сквозь_Волны
60
Чтобы найти уравнение плоскости, содержащей точки A и B, мы можем воспользоваться следующим методом. Вектор нормали к плоскости можно найти как векторное произведение векторов AB и AC, где вектор AB – это разность координат B и A, а вектор AC – разность координат C и A. После этого мы можем использовать найденный вектор нормали, а также координаты точки A, чтобы записать уравнение плоскости в общем виде.

Итак, найдем вектор AB:
AB=BA=(7;2;1)(2;3;1)=(5;1;2).

Теперь найдем вектор AC:
AC=CA=(7;4;2)(2;3;1)=(5;1;3).

Вычислим векторное произведение AB и AC:
AB×AC=|ijk512513|=(1321)i(5325)j+(51(1)5)k=(5)i5j+10k=(5;5;10).

Теперь мы можем использовать вектор нормали N = (-5; -5; 10) и координаты точки A(2; 3; -1), чтобы записать уравнение плоскости в общем виде. Обозначим координаты точки M на плоскости как (x, y, z). Тогда уравнение плоскости будет выглядеть следующим образом:
5(x2)5(y3)+10(z+1)=0.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
5x+105y+15+10z+10=0,
5x5y+10z+35=0.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки A(2; 3; -1) и B(7; 2; 1), имеет вид:
5x5y+10z+35=0.

Теперь давайте найдем расстояние от точки С(7; 4; 2) до этой плоскости. Расстояние между плоскостью и точкой можно вычислить по формуле:
d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2,
где (x_0, y_0, z_0) - координаты точки, A, B, C - коэффициенты уравнения плоскости, а D - свободный член.

Подставим значения коэффициентов уравнения плоскости (-5, -5, 10) и координаты точки С(7, 4, 2) в формулу:
d=|(57)+(54)+(102)+35|(5)2+(5)2+102.

Выполним вычисления:
d=|3520+20+35|25+25+100.
d=|0|150.
d=0150.
d=0.

Таким образом, расстояние от точки С(7; 4; 2) до плоскости, проходящей через точки A(2; 3; -1) и B(7; 2; 1), равно 0. Это означает, что точка С лежит на этой плоскости.