Шукайте всі значення х, при яких вираз √15-3х має значення в діапазоні: А. (-нескінченність; 5)

Сквозь_Время_И_Пространство

3

Щоб знайти всі значення \(x\), при яких вираз \(\sqrt{15-3x}\) має значення в діапазоні, ми будемо використовувати нерівності. Давайте розберемося з кожним варіантом діапазону окремо:

А. (-нескінченність; 5)
Нерівність для цього варіанту буде: \(\sqrt{15-3x} > -\infty\) та \(\sqrt{15-3x} < 5\).

Для першої нерівності \(\sqrt{15-3x} > -\infty\) ми бачимо, що корінь завжди буде додатнім числом (тому що він представляє собою відстань, а відстань завжди є додатньою). Тому ця нерівність задовольняється для будь-якого \(x\).

Для другої нерівності \(\sqrt{15-3x} < 5\) ми можемо перейти до нерівності без кореня, а потім розв"язати його квадрат.

\[\begin{align*}
\sqrt{15-3x} & < 5 \\
15-3x & < 5^2 \\
15-3x & < 25 \\
-3x & < 25-15 \\
-3x & < 10 \\
x & > \frac{10}{-3} \\
x & > -\frac{10}{3}
\end{align*}\]

Таким чином, у діапазоні (-нескінченність; 5) всі значення \(x\), які більші за \(-\frac{10}{3}\), задовольняють задані умови.

Б. (5; +нескінченність)
Нерівність для цього варіанту буде: \(\sqrt{15-3x} > 5\) та \(\sqrt{15-3x} < +\infty\).

Як ми вже зазначали раніше, корінь завжди буде додатнім числом. Тому перша нерівність \(\sqrt{15-3x} > 5\) додасться до другої умови, що корінь є дійсним числом. Це означає, що будь-яке \(x\) відповідає вимогам для цього варіанту діапазону.

В. [5; +нескінченність)
Нерівність для цього варіанту буде: \(\sqrt{15-3x} \geq 5\) та \(\sqrt{15-3x} < +\infty\).

Як ви можете помітити, друга нерівність \( \sqrt{15-3x} < +\infty \) є логічною й очевидною, оскільки корінь визначений для будь-якого значення \( x \). Тому ми зацікавлені в першій нерівності \( \sqrt{15-3x} \geq 5 \).

Давайте знову перейдемо до нерівності без кореня та розв"яжемо її:

\[\begin{align*}
\sqrt{15-3x} & \geq 5 \\
15-3x & \geq 5^2 \\
15-3x & \geq 25 \\
-3x & \geq 25-15 \\
-3x & \geq 10 \\
x & \leq \frac{10}{-3} \\
x & \leq -\frac{10}{3}
\end{align*}\]

Таким чином, у діапазоні [5; +нескінченність) всі значення \(x\), які менші або рівні \(-\frac{10}{3}\), задовольняють задані умови.

Г. (-нескінченність; 5]
Нерівність для цього варіанту буде: \(\sqrt{15-3x} > -\infty\) та \(\sqrt{15-3x} \leq 5\).

Оскільки корінь завжди буде додатнім числом, друга нерівність \(\sqrt{15-3x} \leq 5\) задовольняється для будь-якого \(x\).

Для першої нерівності \(\sqrt{15-3x} > -\infty\), ми знову бачимо, що корінь завжди буде додатнім числом, тому ця нерівність задовольняється для будь-якого \(x\).

Отже, у діапазоні (-нескінченність; 5] всі значення \(x\) задовольняють задані умови.

В кінці, ми отримали:
А. (-нескінченність; 5): всі значення \(x\) такі, що \(x > -\frac{10}{3}\).
Б. (5; +нескінченність): всі значення \(x\) задовольняють умови.
В. [5; +нескінченність): всі значення \(x\) такі, що \(x \leq -\frac{10}{3}\).
Г. (-нескінченність; 5]: всі значення \(x\) задовольняють умови.