Скільки років мають брат і сестра зараз, якщо через 4 роки їх відношення віку буде 7 : 5, а два роки тому брат

Магический_Космонавт

36

Давайте разберемся с этой задачей пошагово.

Обозначим век брата сейчас как \(x\), а век сестры сейчас — как \(y\).

Первое условие задачи гласит, что через 4 года величина \(\frac{x+4}{y+4}\) будет равна \(7:5\). Можем записать это уравнение следующим образом:

\[
\frac{x+4}{y+4} = \frac{7}{5}
\]

Умножим обе стороны на \(5(y+4)\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[
5(x+4) = 7(y+4)
\]

Распишем это уравнение:

\[
5x + 20 = 7y + 28
\]

Теперь мы знаем, что через 4 года век сестры будет в 5 раз меньше, чем век брата. Это можно записать следующим образом:

\[
x - 2 = 2(y-2)
\]

Распишем это уравнение:

\[
x - 2 = 2y - 4
\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[
\begin{align*}
5x + 20 &= 7y + 28 \\
x - 2 &= 2y - 4
\end{align*}
\]

Решим эту систему уравнений.

Первое уравнение можно переписать в виде:

\[
5x - 7y = 8
\]

Второе уравнение можно переписать в виде:

\[
x - 2y = -2
\]

Мы можем решить эту систему уравнений, используя метод замены или метод сложения.

Воспользуемся методом сложения. Умножим второе уравнение на 5, чтобы избавиться от коэффициента 5 у \(x\):

\[
5(x - 2y) = 5(-2) \Rightarrow 5x - 10y = -10
\]

Теперь сложим это уравнение с первым уравнением:

\[
(5x - 7y) + (5x - 10y) = 8 + (-10)
\]

Упростим:

\[
10x - 17y = -2
\]

Таким образом, получили одно уравнение:

\[
10x - 17y = -2
\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(x\) или \(y\).

Соединим получившиеся уравнения:

\[
\begin{align*}
5x - 7y &= 8 \\
10x - 17y &= -2
\end{align*}
\]

Чтобы решить эту систему уравнений, мы можем использовать метод замены. Разрешим второе уравнение относительно \(x\):

\[
x = \frac{-2 + 17y}{10}
\]

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

\[
5\left(\frac{-2 + 17y}{10}\right) - 7y = 8
\]

Упростив это уравнение, получим:

\[
\frac{-10 + 85y}{10} - 7y = 8
\]

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от знаменателя:

\[
-10 + 85y - 70y = 80
\]

Приравняем коэффициенты при \(y\):

\[
15y = 90
\]

Теперь найдем значение \(y\):

\[
y = \frac{90}{15} = 6
\]

Теперь, когда у нас есть значение \(y\), мы можем найти значение \(x\) вторым уравнением:

\[
x = \frac{-2 + 17y}{10} = \frac{-2 + 17 \cdot 6}{10} = \frac{-2 + 102}{10} = \frac{100}{10} = 10
\]

Таким образом, брат сейчас имеет 10 лет, а сестра — 6 лет.