Сколько чисел последовательности 12; 18; ... находятся в промежутке между 180 и 490?

Снежинка

58

Для того чтобы найти количество чисел последовательности, мы должны выяснить, сколько чисел из этой последовательности находятся в заданном промежутке между 180 и 490.

Данная последовательность является арифметической прогрессией с шагом \(d\). Чтобы найти этот шаг, нам нужно вычислить разность между любыми двумя последовательными числами.

Поскольку первое число последовательности равно 12, а второе число равно 18, мы можем найти шаг, вычитая первое число из второго:

\[d = 18 - 12 = 6.\]

Теперь у нас есть все данные для того, чтобы найти количество чисел в данной последовательности, находящихся в промежутке между 180 и 490. Давайте посмотрим, какие числа мы можем получить, увеличивая каждый раз на \(d\), начиная с 12:

12, 18, 24, 30, 36, ...

Для того чтобы узнать, сколько чисел в этой последовательности находятся в промежутке между 180 и 490, мы должны найти первое и последнее число этой последовательности, которые находятся в этом промежутке.

Чтобы найти первое число, мы должны найти минимальное значение \(n\), для которого выполняется неравенство \(12 + 6 \cdot (n-1) \geq 180\). Решим это неравенство:

\[
12 + 6 \cdot (n-1) \geq 180 \Rightarrow 6n - 6 + 12 \geq 180 \Rightarrow 6n + 6 \geq 180 \Rightarrow 6n \geq 174 \Rightarrow n \geq 29.
\]

Таким образом, первое число последовательности, находящееся в заданном промежутке, имеет номер 29.

Аналогично, чтобы найти последнее число, мы должны найти максимальное значение \(m\), для которого выполняется неравенство \(12 + 6 \cdot (m-1) \leq 490\). Решим это неравенство:

\[
12 + 6 \cdot (m-1) \leq 490 \Rightarrow 6m - 6 + 12 \leq 490 \Rightarrow 6m + 6 \leq 490 \Rightarrow 6m \leq 484 \Rightarrow m \leq 80\dfrac{2}{3}.
\]

Таким образом, последнее число последовательности, находящееся в заданном промежутке, имеет номер 80.

Для того чтобы узнать количество чисел, мы можем вычислить разность между числом последнего и первого числа последовательности и добавить 1 (так как мы включаем оба крайних числа):

\[
\#\text{{ чисел }} = 80 - 29 + 1 = 52.
\]

Итак, в заданном промежутке между 180 и 490 находится 52 числа данной последовательности.