Сколько граммов весит шар, сделанный из того же материала, но имеющий диаметр в 2 раза больше (равный 4 сантиметрам)?

Загадочный_Магнат

42

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для объема шара. Объем шара можно выразить через его радиус (\(r\)) следующим образом:

\[V = \frac{4}{3} \pi r^3\]

Мы знаем, что данная задача связана с изменением диаметра шара в 2 раза. Поскольку диаметр (\(d\)) шара в два раза больше радиуса, мы можем использовать следующее соотношение:

\[d = 2r\]

Следовательно, радиус (\(r\)) шара равен половине его диаметра (\(d\)):

\[r = \frac{d}{2}\]

Теперь мы можем подставить это значение радиуса в формулу для объема шара:

\[V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{d}{2}\right)^3\]

Для того чтобы найти массу шара (\(m\)), нам нужно узнать его плотность (\(\rho\)) и объем (\(V\)). Формула, связывающая массу и объем, выглядит следующим образом:

\[m = \rho V\]

Поскольку шар изготовлен из того же материала, его плотность будет одинаковой. Поэтому мы можем сказать, что масса (\(m_1\)) шара с диаметром (\(d_1\)) связана с массой (\(m_2\)) шара с диаметром (\(d_2\)) следующим образом:

\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{V_1}{V_2}\]

Подставим выражение для объема в данное уравнение:

\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi \left(\frac{d_1}{2}\right)^3}{\frac{4}{3} \pi \left(\frac{d_2}{2}\right)^3}\]

Заметим, что множители \(\frac{4}{3}\) и \(\pi\) сокращаются:

\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{1} \cdot \frac{\left(\frac{d_1}{2}\right)^3}{\left(\frac{d_2}{2}\right)^3}\]

Теперь мы можем подставить значение диаметра (\(d_1 = 2\) см) и диаметра (\(d_2 = 4\) см) в данное уравнение и рассчитать отношение масс:

\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{\left(\frac{2}{2}\right)^3}{\left(\frac{4}{2}\right)^3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\]

Таким образом, масса нового шара составляет \(\frac{1}{8}\) от массы исходного шара.

Данный ответ обоснован математическими формулами и пошаговым решением задачи. Это позволяет понять школьнику, как мы пришли к ответу, и разобраться в решении аналогичных задач.