Якщо два трактори працюють разом і зорють поле за 2 дні, то за скільки днів може кожен трактор зробити це самостійно

Puma

50

Давайте рассмотрим эту задачу пошагово.

Пусть первый трактор, который работает быстрее, заканчивает работу за \(x\) дней. Тогда второй трактор заканчивает работу за \(x + 3\) дня.

Если два трактора работают вместе, они зерно поле за 2 дня. Значит, за один день они зерно поле на \(\frac{1}{2}\) его площади.

Посмотрим, сколько работы может выполнить за один день каждый трактор в отдельности.

Пусть \(S\) - общая площадь поля. Тогда первый трактор может каждый день обрабатывать \(\frac{S}{x}\) часть поля, а второй трактор - \(\frac{S}{x+3}\) часть поля.

Так как оба трактора работают одинаковое время за один день, то их совместная работа равна работе первого трактора плюс работа второго трактора:
\[\frac{S}{x} + \frac{S}{x+3} = \frac{1}{2}\]

Приводя данный уравнение к общему знаменателю, получаем:
\[\frac{(x+3)S + xS}{x(x+3)} = \frac{1}{2}\]

Умножаем обе части уравнения на \(2x(x+3)\):
\[2(x+3)S + 2xS = x(x+3)\]

Раскрываем скобки и упрощаем:
\[2xS + 6S + 2xS = x^2 + 3x\]
\[4xS + 6S = x^2 + 3x\]
\[10S = x^2 + 3x\]

Теперь мы получили квадратное уравнение, которое нужно решить. Для этого раскроем скобки и приведем подобные члены:
\[10S = x^2 + 3x\]
\[x^2 + 3x - 10S = 0\]

Теперь решим это уравнение, используя методы решения квадратных уравнений, например, формулу дискриминанта.

Дискриминант для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле:
\[D = b^2 - 4ac\]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -10S\), поэтому дискриминант принимает вид:
\[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10S)\]
\[D = 9 + 40S\]

Если дискриминант \(D\) положительный, то уравнение имеет два различных действительных корня, если равен нулю - один корень, если отрицательный - корней нет.

Вернемся к разбору трех случаев:

1. Если дискриминант \(D\) положительный, то уравнение имеет два различных действительных корня. Таким образом, первый трактор может закончить работу за одно количество дней, а второй трактор - за другое количество дней.

2. Если дискриминант \(D\) равен нулю, то уравнение имеет один корень. Иными словами, оба трактора заканчивают работу за одинаковое количество дней.

3. Если дискриминант \(D\) отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, данная ситуация не имеет решения.

Итак, ответ на задачу зависит от значения дискриминанта \(D\):

- Если \(D\) положительный, первый трактор сможет закончить работу за \(x_1\) дней, а второй трактор - за \(x_2\) дней. \(x_1\) и \(x_2\) - корни уравнения \(x^2 + 3x - 10S = 0\).

- Если \(D\) равен нулю, оба трактора закончат работу за одинаковое количество дней \(x\), где \(x\) - корень уравнения \(x^2 + 3x - 10S = 0\).

- Если \(D\) отрицательный, данная ситуация не имеет решения.

Таким образом, мы можем найти ответ на задачу, решив данное квадратное уравнение и проанализировав значения дискриминанта.