Сколько корней у уравнения sin12xcos22x = sin22xcos12x на интервале [-9π; 10π]?

Vulkan

5

Давайте решим данную математическую задачу шаг за шагом.

У нас есть уравнение \(\sin(12x)\cos(22x) = \sin(22x)\cos(12x)\), которое мы хотим решить на интервале [-9π; 10π] и найти количество корней.

Шаг 1: Приведение уравнения к одной стороне.
Для начала перенесем все члены уравнения влево, чтобы получить уравнение равное нулю:
\(\sin(12x)\cos(22x) - \sin(22x)\cos(12x) = 0\)

Шаг 2: Использование формулы тригонометрического тождества.
Мы можем использовать формулу синуса разности двух углов, чтобы упростить выражение:
\(\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\)

Применяя эту формулу к нашему уравнению, мы получаем:
\(\sin(12x - 22x) = 0\)

Шаг 3: Упрощение и получение итогового уравнения.
После упрощения получаем:
\(\sin(-10x) = 0\)

Шаг 4: Нахождение значений угла.
Теперь решим получившееся уравнение \(\sin(-10x) = 0\). Значение синуса равно нулю, когда аргумент равен 0, т.е. \(-10x = 0\). Решая это уравнение, получаем:

\(x = 0\)

Шаг 5: Проверка корней на интервале.
Проверим найденный корень x = 0 на интервале [-9π; 10π]. Подставляем x = 0 в исходное уравнение и видим, что оно выполняется.

Шаг 6: Подсчет количества корней
Таким образом, мы нашли один корень уравнения \(\sin(12x)\cos(22x) = \sin(22x)\cos(12x)\) на интервале [-9π; 10π].

Ответ: У данного уравнения есть 1 корень на интервале [-9π; 10π].