Сколько метров пройдет тело, двигаясь прямолинейно со скоростью, заданной уравнением v(t) = 4t^5-3t, в течение
Сколько метров пройдет тело, двигаясь прямолинейно со скоростью, заданной уравнением v(t) = 4t^5-3t, в течение 3 секунд?
Skat 24
Чтобы решить данную задачу, нам необходимо найти путь, пройденный телом за 3 секунды.Для этого мы можем воспользоваться определением скорости как производной пути \( s(t) \) по времени \( t \):
\[ v(t) = \frac{{ds(t)}}{{dt}} \]
Зная уравнение для скорости \( v(t) = 4t^5 - 3t \), мы можем взять интеграл от этого уравнения, чтобы найти путь, пройденный телом:
\[ s(t) = \int v(t) dt = \int (4t^5 - 3t) dt \]
Вычислим этот интеграл поэтапно. Первым шагом мы берем интеграл \( 4t^5 \), применяя формулу интегрирования степени:
\[ \int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C, \]
где \( C \) - константа интегрирования.
Получаем:
\[ \int 4t^5 dt = \frac{4t^{5+1}}{5+1} + C = \frac{4t^6}{6} + C = \frac{2t^6}{3} + C_1, \]
где \( C_1 \) - новая константа интегрирования.
Теперь возьмем второй интеграл \( -3t \):
\[ \int -3t dt = -\frac{3t^2}{2} + C_2, \]
где \( C_2 \) - еще одна константа интегрирования.
Итак, мы получили выражение для пути \( s(t) \):
\[ s(t) = \frac{2t^6}{3} - \frac{3t^2}{2} + C_1 + C_2. \]
Теперь мы можем найти путь за 3 секунды, подставив \( t = 3 \) в это выражение:
\[ s(3) = \frac{2 \cdot 3^6}{3} - \frac{3 \cdot 3^2}{2} + C_1 + C_2. \]
Вычислим эту формулу:
\[ s(3) = \frac{2 \cdot 729}{3} - \frac{3 \cdot 9}{2} + C_1 + C_2 = 486 - \frac{27}{2} + C_1 + C_2. \]
Таким образом, путь, пройденный телом за 3 секунды, равен \( 486 - \frac{27}{2} + C_1 + C_2 \) метров.
Обратите внимание, что значения констант \( C_1 \) и \( C_2 \) определяются начальными условиями задачи. Если бы было дано начальное положение тела, то мы могли бы найти их значения и точно определить путь. В текущей формулировке задачи, где начальные условия не указаны, мы не можем точно определить их значения.