Сколько натуральных чисел, меньших 2019, не делится нацело ни на 20, ни

Natalya

23

на 25?

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся принципом включений-исключений. Принцип включений-исключений позволяет нам учесть все возможные случаи и исключить повторения.

Чтобы начать, давайте посмотрим, сколько чисел меньше 2019 делятся нацело на 20. Это можно вычислить, разделив 2019 на 20 и округлив результат вниз. Получим:

\[
\left\lfloor\frac{2019}{20}\right\rfloor = 100
\]

Теперь рассмотрим числа, которые делятся нацело на 25. Аналогично, разделим 2019 на 25 и округлим результат вниз:

\[
\left\lfloor\frac{2019}{25}\right\rfloor = 80
\]

Теперь, чтобы найти числа, которые делятся на 20 и 25 одновременно, мы должны разделить 2019 на их наименьшее общее кратное. НОК(20, 25) равно 100, поэтому мы можем разделить 2019 на 100 и округлить результат вниз:

\[
\left\lfloor\frac{2019}{100}\right\rfloor = 20
\]

Теперь мы можем применить принцип включений-исключений:

\[
\text{{Количество чисел, не делящихся нацело ни на 20, ни на 25}} = 2019 - \text{{(числа, делящиеся на 20)}} - \text{{(числа, делящиеся на 25)}} + \text{{(числа, делящиеся на 20 и на 25)}}.
\]

Подставляем значения:

\[
\text{{Количество чисел, не делящихся нацело ни на 20, ни на 25}} = 2019 - 100 - 80 + 20 = 1859.
\]

Итак, ответ на задачу: существует 1859 натуральных чисел, меньших 2019, которые не делятся нацело ни на 20, ни на 25.