Сколько нулей содержит произведение всех натуральных чисел от 1 до 2019?

Magicheskiy_Troll

19

Для решения данной задачи нам необходимо выяснить, сколько нулей содержится в произведении всех натуральных чисел от 1 до 2019.

Для начала разложим все числа от 1 до 2019 на множители и посмотрим, какие из них содержат в себе множитель 10 или его степень.

Число 10 представляется в виде \(10 = 2 \times 5\). То есть, чтобы в результате получилась одна ноль в числе, должно присутствовать как минимум по одной двойке и пятерке в разложении числа на множители.

Рассмотрим числа от 1 до 2019:
1 не содержит ни двоек, ни пятерок.
2 содержит одну двойку.
3 не содержит ни двоек, ни пятерок.
4 содержит две двойки.
5 содержит одну пятерку.
6 содержит одну двойку и одну пятерку.
...
9 содержит две тройки.
10 содержит одну двойку и одну пятерку.
...
15 содержит одну тройку и одну пятерку.
...
20 содержит две двойки и одну пятерку.
...
25 содержит две пятерки.

Теперь посмотрим, какие числа еще содержат множитель 10 или его степень:
10 содержит одну двойку и одну пятерку.
20 содержит две двойки и одну пятерку.
30 содержит одну тройку, одну двойку и одну пятерку.
...
50 содержит две пятерки.
...
100 содержит две двойки и две пятерки.
...
200 содержит две двойки и две пятерки.
...
1000 содержит две тройки, две двойки и три пятерки.
...
2019 не содержит ни двоек, ни пятерок.

Теперь посчитаем, сколько раз встречается каждый множитель 10 в разложении чисел от 1 до 2019.

Числа, содержащие одну двойку и одну пятерку: 10, 20, 30, 40, ..., 2000 (всего 201).

Числа, содержащие две двойки и одну пятерку: 100, 200, 300, ..., 2000 (всего 20).

Числа, содержащие две двойки и две пятерки: 1000, 2000 (всего 2).

Теперь подсчитаем общее количество нулей в произведении всех натуральных чисел от 1 до 2019.

Одна двойка и одна пятерка в разложении каждого из 201 числа дают 201 ноль.

Две двойки и одна пятерка в разложении каждого из 20 чисел дают 40 нулей.

Две двойки и две пятерки в разложении каждого из 2 чисел дают 4 ноля.

\(201 \cdot 1 + 20 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 201 + 40 + 8 = 249\)

Таким образом, произведение всех натуральных чисел от 1 до 2019 содержит 249 нулей.