Сколько открыток подписала Оля за девятый день, если вся работа была завершена за 16 дней и каждый день она подписывала

Кедр

20

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать метод математической индукции. Начнем с того, что определим количество открыток, которые Оля подписывала каждый день.

Первый день: Оля подписала 25 открыток.
Второй день: Оля подписала больше открыток, чем в первый день. Обозначим это количество за \(a_2\).
Третий день: Оля подписала больше открыток, чем во второй день. Обозначим это количество за \(a_3\).
...
Девятый день: Оля подписала больше открыток, чем восьмой день. Обозначим это количество за \(a_9\).

На основании данных выше, мы можем выписать следующую последовательность:
25, \(a_2\), \(a_3\), ..., \(a_9\).

Заметим, что каждый элемент последовательности больше предыдущего элемента. Мы можем записать это формулой:

\[a_{n+1} = a_n + d\]

где \(d\) - разность между двумя соседними элементами последовательности.

Теперь нужно найти общий шаг прогрессии \(d\). Для этого мы знаем, что вся работа была завершена за 16 дней, и каждый день Оля подписывала больше открыток по сравнению с предыдущим днем. Количество открыток, подписанных за первые 9 дней, будет равно сумме первых девяти членов последовательности. Запишем это в формуле:

\[16 = 25 + a_2 + a_3 + \ldots + a_9\]

Теперь мы можем решить эту уравнение, используя полученную нами формулу \(a_{n+1} = a_n + d\). Вместо \(a_9\) в правой части формулы мы будем использовать \(a_8 + d\), а вместо \(a_8\) - \(a_7 + d\), и так далее, пока не получим выражение только с неизвестной переменной \(d\):

\[16 = 25 + (25 + d) + (25 + 2d) + \ldots + (25 + 7d) + (25 + 8d)\]

Теперь соберем все члены справа от равно в скобки и приведем подобные слагаемые:

\[16 = 9 \cdot 25 + d(1 + 2 + \ldots + 7 + 8)\]

Приведем числитель подстановкой формулы суммы арифметической прогрессии:

\[16 = 9 \cdot 25 + d \cdot \frac{8 \cdot (8 + 1)}{2}\]

Решим полученное уравнение:

\[16 = 225 + 36d\]
\[36d = -209\]
\[d = -\frac{209}{36}\]

Теперь, когда у нас есть значение шага прогрессии \(d\), мы можем найти количество открыток, которые Оля подписала за девятый день, используя формулу \(a_{n+1} = a_n + d\). В этом случае, \(n = 8\):

\[a_9 = a_8 + d\]
\[a_9 = 25 + 8 \cdot \left(-\frac{209}{36}\right)\]

Подсчитаем значение \(a_9\):

\[a_9 = 25 - \frac{209 \cdot 8}{36}\]

Чтобы упростить вычисления, можем разложить числитель на множители:

\[a_9 = 25 - \frac{8}{36} \cdot 209\]

Выполним вычисления:

\[a_9 = 25 - \frac{8}{36} \cdot 209\]
\[a_9 = 25 - \frac{8}{9} \cdot 209\]
\[a_9 = 25 - \frac{8 \cdot 209}{9}\]
\[a_9 = 25 - \frac{1672}{9}\]

Для упрощения дроби делим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 8:

\[a_9 = 25 - \frac{1672}{9}\]
\[a_9 = 25 - \frac{209}{1}\]
\[a_9 = 25 - 209\]
\[a_9 = -184\]

Ответ: Оля подписала -184 открытки за девятый день.