Сколько пар (x,y) на плоскости имеют решение уравнения y⁴-x²=√72x-81x²-16?

Chupa_2456

24

Чтобы решить данное уравнение, нужно рассмотреть его пошагово.

Шаг 1: Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и приведём подобные члены:
\[y^4 - x^2 + 81x^2 - \sqrt{72x} +16 = 0.\]

Шаг 2: Зададим новую переменную, например, \(z = y^2\), чтобы свести уравнение к квадратному виду:
\[z^2 - x^2 + 81x^2 - \sqrt{72x} + 16 = 0.\]

Шаг 3: Приведём подобные члены:
\[z^2 + 80x^2 - \sqrt{72x} + 16 = 0.\]

Шаг 4: Разложим корень \(\sqrt{72x}\):
\[z^2 + 80x^2 - 8 \sqrt{2x} \sqrt{9x} + 16 = 0.\]

Шаг 5: Перегруппируем члены с корнем:
\[(z^2 + 16) + 80x^2 - 8 \sqrt{2x} \sqrt{9x} = 0.\]

Шаг 6: Раскроем скобки в члене \(8 \sqrt{2x} \sqrt{9x}\):
\[z^2 + 80x^2 - 8 \cdot 3 \sqrt{2x} \cdot \sqrt{2x} = 0.\]

Шаг 7: Упростим выражение:
\[(z^2 + 16) + 80x^2 - 48x = 0.\]

Шаг 8: Разложим \(z^2 + 16\) в квадрат суммы:
\[(z + 4)^2 + 80x^2 - 48x = 0.\]

Шаг 9: Получили квадратное уравнение:
\[(z + 4)^2 + 80x(x - \frac{3}{5}) = 0.\]

Шаг 10: Рассмотрим два случая:

- Первый случай: \((z + 4)^2 = 0\).
Решим это уравнение:
\[(z + 4)^2 = 0,\]
\[z + 4 = 0,\]
\[z = -4.\]
Заменим обратно переменную \(z\) на \(y^2\):
\[y^2 = -4.\]
Данное уравнение не имеет решений в вещественных числах, поэтому отвечаем, что в данном случае нет пар \((x, y)\).

- Второй случай: \(80x(x - \frac{3}{5}) = 0\).
Решим это уравнение:
\[80x(x - \frac{3}{5}) = 0,\]
\[x(x - \frac{3}{5}) = 0.\]
Из этого уравнения следуют два случая:
1) \(x = 0\).
Подставим найденное значение \(x\) в исходное уравнение для нахождения соответствующего значения \(y\):
\[y^4 - 0^2 = \sqrt{72 \cdot 0} - 81 \cdot 0^2 - 16,\]
\[y^4 = 0,\]
\[y = 0.\]
Таким образом, в первом случае имеется одна пара решений \((0, 0)\).

2) \(x - \frac{3}{5} = 0\).
Решим это уравнение:
\(x - \frac{3}{5} = 0,\)
\(x = \frac{3}{5}.\)
Подставим найденное значение \(x\) в исходное уравнение для нахождения соответствующего значения \(y\):
\[y^4 - (\frac{3}{5})^2 = \sqrt{72 \cdot \frac{3}{5}} - 81 \cdot (\frac{3}{5})^2 - 16.\]
Данное уравнение выполняется, однако его решение в виде явной формулы найти невозможно. Можно воспользоваться численными методами для приближенного нахождения корня и получения соответствующего значения \(y\).

В итоге, уравнение \(y^4 - x^2 = \sqrt{72x} - 81x^2 - 16\) имеет две пары решений: \((0, 0)\) и пару, получаемую численными методами для \(x = \frac{3}{5}\) и соответствующего значения \(y\).