Сколько попугаев может быть в зоопарке, если имеются красные, желтые и зеленые попугаи (по крайней мере один попугай

Лунный_Шаман

10

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся принципом Дирихле, который гласит, что если на один из двух (или более) носителей мы помещаем больше элементов, чем на другой, то существует хотя бы один носитель, на котором лежит более одного элемента.

Дано, что в зоопарке есть красные, желтые и зеленые попугаи, а также известно, что среди любых 11 попугаев есть красный, а среди любых 12 попугаев есть желтый.

Давайте предположим, что в зоопарке находится \(x\) красных, \(y\) желтых и \(z\) зеленых попугаев.

Так как среди любых 11 попугаев должен быть хотя бы один красный попугай, то для этого случая мы можем предположить, что есть 10 попугаев других цветов и один красный попугай. Это означает, что \(y + z = 10\) (11 попугаев минус один красный).

Аналогично, так как среди любых 12 попугаев должен быть хотя бы один желтый попугай, для этого случая мы можем предположить, что есть 11 попугаев других цветов и один желтый попугай. Это означает, что \(x + z = 11\) (12 попугаев минус один желтый).

Теперь у нас есть система уравнений:

\[
\begin{align*}
y + z &= 10 \\
x + z &= 11
\end{align*}
\]

Мы можем решить эту систему, выразив одну переменную через другую. Сложим эти два уравнения:

\[
(y + z) + (x + z) = 10 + 11
\]

После упрощения получим:

\[
x + y + 2z = 21
\]

Теперь, используя изначальные предположения, мы знаем, что каждый из \(x\), \(y\) и \(z\) не может быть меньше 1, так как должен быть хотя бы один попугай каждого цвета.

Давайте рассмотрим возможные значения \(z\): 1, 2, 3, 4, ...

Подставим значения \(z\) в уравнение \(x + y + 2z = 21\) и найдем значения \(x\) и \(y\).

\[
\begin{align*}
z = 1 & : \quad x + y + 2 \cdot 1 = 21 \quad \Rightarrow \quad x + y = 19 \\
z = 2 & : \quad x + y + 2 \cdot 2 = 21 \quad \Rightarrow \quad x + y = 17 \\
z = 3 & : \quad x + y + 2 \cdot 3 = 21 \quad \Rightarrow \quad x + y = 15 \\
z = 4 & : \quad x + y + 2 \cdot 4 = 21 \quad \Rightarrow \quad x + y = 13 \\
z = 5 & : \quad x + y + 2 \cdot 5 = 21 \quad \Rightarrow \quad x + y = 11 \\
z = 6 & : \quad x + y + 2 \cdot 6 = 21 \quad \Rightarrow \quad x + y = 9 \\
z = 7 & : \quad x + y + 2 \cdot 7 = 21 \quad \Rightarrow \quad x + y = 7 \quad \text{(неприемлемо)} \\
\end{align*}
\]

Далее, давайте рассмотрим случай \(z = 1\):

\[
\begin{align*}
x + y &= 19 \\
y + 1 &= 10 \\
x + 1 &= 11 \\
\end{align*}
\]

Решая эти уравнения, найдем, что \(x = 10\) и \(y = 9\). Подставим эти значения обратно в исходную систему уравнений и убедимся, что они удовлетворяют всем условиям:

\[
\begin{align*}
10 + 9 + 2 \cdot 1 &= 19 + 2 = 21 \\
10 + 1 &= 11 \\
9 + 1 &= 10 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, есть 10 красных, 9 желтых и 1 зеленый попугай.

Поэтому в зоопарке может быть 10 + 9 + 1 = 20 попугаев.