Сколько правильных дробей можно составить вида ab/ba, если b не превышает

Радуша

12

заданного натурального числа \( n \)?

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим условие задачи подробнее.

Мы хотим составить правильные дроби вида \(\frac{ab}{ba}\), где \(a\) и \(b\) - натуральные числа, и \(b\) не превышает заданного числа \(n\). Для того чтобы дробь была правильной, нам необходимо, чтобы числитель \(ab\) был меньше знаменателя \(ba\).

Рассмотрим возможные значения для \(a\) и \(b\). Максимальное значение для \(a\) будет равно \(n\) (поскольку \(b\) не может превышать \(n\)). Максимальное значение для \(b\) также будет равно \(n\).

Таким образом, мы можем составить правильные дроби для всех возможных комбинаций чисел \(a\) и \(b\), где \(a\) находится в диапазоне от 1 до \(n\), и \(b\) находится в диапазоне от 1 до \(n\).

Общее количество правильных дробей можно найти, просуммировав количество правильных дробей для каждого значения \(a\).

Для одного фиксированного значения \(a\) количество правильных дробей можно найти, посчитав количество возможных значений для \(b\), которые удовлетворяют условию \(b \leq n\).

Из условия можно сделать вывод, что \(a\) и \(b\) не могут быть равными, иначе получаем дробь \(\frac{aa}{aa}\), которая не является правильной. Поэтому, мы должны исключить такие комбинации.

Таким образом, общее количество правильных дробей можно найти, используя следующую формулу:

\[количество_{\text{правильных дробей}}} = \sum_{a=1}^{n} (n - 1)\]

где \(n\) - заданное натуральное число.

Почему мы вычитаем 1? Потому что мы исключаем комбинацию, где \(a\) и \(b\) равны между собой.

Давайте рассмотрим пример для более наглядного объяснения. Пусть заданное число \(n = 3\).

Тогда, общее количество правильных дробей будет равно:

\(количество_{\text{правильных дробей}}} = (3 - 1) + (3 - 1) + (3 - 1) = 2 + 2 + 2 = 6\)

То есть, для данного примера, можно составить 6 правильных дробей вида \(ab/ba\), где \(b\) не превышает 3.

Надеюсь, объяснение было понятным и полезным. Если остались вопросы или необходимо более детальное пояснение, пожалуйста, сообщите мне.