Сколько растений одуванчика Екатерина насчитала всего за 8 лет, если каждый год на участке вырастало в два раза больше

Баська

22

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Пусть \(х\) - это количество одуванчиков, которые росли на участке в первый год.

2. На второй год количество одуванчиков будет удвоенным, то есть \(2х\).

3. На третий год количество одуванчиков будет в два раза больше, чем на предыдущий год, то есть \(2 \cdot 2х = 2^2 \cdot х = 2^2х\).

4. Аналогично, на четвертый год количество одуванчиков будет равно \(2^3х\), на пятый год - \(2^4х\), и так далее.

5. По условию, на восьмой год количество одуванчиков было на 640 больше, чем на седьмой год. То есть, \(2^7х + 640 = 2^8х\).

6. Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение \(х\):

\[2^7х + 640 = 2^8х\]
\[640 = 2^8х - 2^7х\]
\[640 = х(2^8 - 2^7)\]
\[640 = х(256 - 128)\]
\[640 = 128х\]
\[х = \frac{640}{128}\]
\[х = 5\]

Таким образом, в первый год на участке выросло 5 одуванчиков.

7. Теперь, чтобы найти общее количество одуванчиков за 8 лет, мы можем использовать формулу суммы геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}\]

где:
\(S\) - сумма,
\(a_1\) - первый член прогрессии (в нашем случае это 5),
\(q\) - знаменатель прогрессии (в нашем случае это 2),
\(n\) - количество членов прогрессии (в нашем случае это 8).

Подставим значения и решим:

\[S = \frac{5(2^8-1)}{2-1}\]
\[S = \frac{5(256-1)}{1}\]
\[S = \frac{5(255)}{1}\]
\[S = 1275\]

Таким образом, Екатерина насчитала всего 1275 растений одуванчика за 8 лет.

Надеюсь, ответ был достаточно подробным и понятным для вас.