Сколько раз встречается цифра, когда мы выписываем все натуральные числа от 1 до 2020 включительно?

Muravey

30

Чтобы решить эту задачу, давайте посмотрим на количество цифр в каждом из чисел от 1 до 2020.

1. Числа от 1 до 9 содержат только одну цифру, поэтому в них встречается ровно 1 цифра (само число).

2. Числа от 10 до 99 содержат две цифры. Здесь нам понадобятся две проверки: сколько раз встречается цифра 0 и сколько раз встречается любая другая цифра от 1 до 9.

- Цифра 0 встречается в таких числах, как 10, 20, 30, и так далее. Всего таких чисел 9 (10, 20, ..., 90). Значит, цифра 0 встречается 9 раз.
- Цифры от 1 до 9 встречаются в каждой из двух позиций в числе (десятки и единицы). Таких цифр у нас 9. Значит, каждая цифра от 1 до 9 встречается 9 раз в каждой позиции, итого 9*2 = 18 раз.

Итак, в числах от 10 до 99 каждая цифра от 0 до 9 встречается в сумме 9 раз (0 раз + 9 раз + 9 раз).

3. Числа от 100 до 999 содержат три цифры. Здесь уже три проверки: сколько раз встречается цифра 0, сколько раз встречается цифра 1 (как старшая цифра числа) и сколько раз встречается любая другая цифра от 1 до 9.

- Цифра 0 встречается в позиции единиц (в числах, оканчивающихся на 0), позиции десятков (в числах, оканчивающихся на 00) и позиции сотен (в числах, оканчивающихся на 000). Всего таких чисел 9 (100, 200, ..., 900). Значит, цифра 0 встречается 9 раз.
- Цифра 1 встречается в позиции сотен (в числах, оканчивающихся на 1xx). Всего таких чисел 9. Значит, цифра 1 встречается 9 раз.
- Цифры от 2 до 9 встречаются в каждой из трех позиций в числе (сотни, десятки и единицы). Таких цифр у нас 8. Значит, каждая цифра от 2 до 9 встречается 8 раз в каждой позиции, итого 8*3 = 24 раз.

Итак, в числах от 100 до 999 каждая цифра от 0 до 9 встречается в сумме 9 раз (0 раз + 9 раз + 24 раз).

4. Числа от 1000 до 2020 содержат четыре цифры. Здесь снова четыре проверки: сколько раз встречается цифра 0, сколько раз встречается цифра 1 (как старшая цифра числа), сколько раз встречается цифра 2 (как старшая цифра числа) и сколько раз встречается любая другая цифра от 1 до 9.

- Цифра 0 встречается в позиции единиц (в числах, оканчивающихся на 0) и позиции тысяч (в числах, оканчивающихся на 000). Всего таких чисел 2 (1000 и 2000). Значит, цифра 0 встречается 2 раза.
- Цифра 1 встречается в позиции тысяч (в числах, оканчивающихся на 1xxx). Всего таких чисел 2. Значит, цифра 1 встречается 2 раза.
- Цифра 2 встречается в позиции тысяч (в числах, оканчивающихся на 2xxx). Всего таких чисел 2. Значит, цифра 2 встречается 2 раза.
- Цифры от 3 до 9 встречаются в каждой из четырех позиций в числе (тысячи, сотни, десятки и единицы). Таких цифр у нас 7. Значит, каждая цифра от 3 до 9 встречается 7 раз в каждой позиции, итого 7*4 = 28 раз.

Итак, в числах от 1000 до 2020 каждая цифра от 0 до 9 встречается в сумме 2 раза (0 раз + 2 раза + 2 раза + 28 раз).

Теперь мы можем сложить все найденные значения, чтобы определить общее количество раз, когда каждая цифра от 0 до 9 встречается в числах от 1 до 2020:

1 + 9 + 9 + 18 + 9 + 24 + 2 + 2 + 28 = 122

Таким образом, каждая цифра от 0 до 9 встречается 122 раза, когда мы выписываем все натуральные числа от 1 до 2020 включительно.