Сколько треугольников нужно, чтобы закрыть большой треугольник, полученный из равностороннего треугольника

Магический_Единорог_4181

47

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо разобраться в процессе построения треугольников и определить закономерности.

Для начала, посмотрим на образование первого уровня треугольников. Изначально у нас есть равносторонний треугольник, каждая сторона которого равна. Затем строится треугольник на середине каждой стороны. При этом получается 4 равных треугольника на внешних сторонах и 1 большой треугольник внутри.

Чтобы закрыть большой треугольник, нам нужно добавить треугольники на стороны созданных треугольников. Таким образом, для каждого созданного треугольника мы будем добавлять ещё 3 треугольника.

Если мы произведем эти действия 4 раза, получим следующую закономерность:

- Первый уровень: 1 большой треугольник
- Второй уровень: 4 образованных треугольника + 4 треугольника для их закрытия (по 3 треугольника на каждый созданный треугольник)
- Третий уровень: 16 образованных треугольников + 16 треугольников для их закрытия (по 3 треугольника на каждый созданный треугольник)
- Четвертый уровень: 64 образованных треугольника + 64 треугольника для их закрытия (по 3 треугольника на каждый созданный треугольник)

Таким образом, общее количество треугольников для закрытия возрастает в геометрической прогрессии. Мы можем использовать формулу для суммы геометрической прогрессии, чтобы вычислить общее количество треугольников.

Формула для суммы геометрической прогрессии: \(S = a \cdot \dfrac{{1 - q^n}}{{1 - q}}\)

Где:
- \(S\) - общее количество треугольников
- \(a\) - первый член прогрессии (1 большой треугольник)
- \(q\) - знаменатель прогрессии (3, так как на каждый созданный треугольник добавляется 3 треугольника)
- \(n\) - количество шагов (в данном случае 4)

Подставив в формулу значения, получаем:

\(S = 1 \cdot \dfrac{{1 - 3^4}}{{1 - 3}} = 1 \cdot \dfrac{{1 - 81}}{{1 - 3}} = 1 \cdot \dfrac{{-80}}{{-2}} = 40\)

Таким образом, если мы произведем эти действия 4 раза, то получим 40 треугольников.

Теперь рассмотрим площадь большого треугольника. Площадь розового треугольника составляет 3 дм². Розовый треугольник является одним из треугольников внутри большого треугольника. Зная, что площадь каждого из созданных треугольников равна 3 дм², мы можем допустить, что большой треугольник состоит из 4 таких треугольников (так как процесс построения треугольников происходил 4 раза).

Таким образом, площадь большого треугольника равна \(4 \cdot 3 = 12\) дм².

Это подробное решение задачи, которое объясняет каждый шаг и даёт обоснования для ответов.