Сколько треугольников образуют n непараллельных прямых на плоскости так, чтобы никакие три из них не пересекались

Искандер

66

Для решения этой задачи, нам необходимо применить комбинаторный подход.

Представим себе ситуацию, когда у нас есть n прямых на плоскости. Рассмотрим одну из прямых и посмотрим сколько треугольников мы можем образовать с этой прямой. Каждая прямая, пересекающая данную, может образовать с ней треугольник. Из n-1 прямой (кроме данной) мы можем выбрать 2 прямые для образования треугольника.

Таким образом, число треугольников, которые можно образовать с данной прямой, равно "n-1 choose 2". Записывается это так: \({{n-1} \choose 2}\), где "choose" - это биномиальный коэффициент.

Так как в задаче у нас n прямых, то для получения общего числа треугольников мы должны умножить "n-1 choose 2" на n. То есть, общее число треугольников можно вычислить следующим образом: \(n \cdot {{n-1} \choose 2}\).

Давайте рассмотрим пример. Пусть у нас есть 4 прямые. Мы будем использовать формулу выше для вычисления числа треугольников.

\(n = 4\)

Общее число треугольников: \(4 \cdot {{4-1} \choose 2} = 4 \cdot {{3} \choose 2} = 4 \cdot \frac{3!}{2! \cdot 1!} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6\).

Таким образом, если у нас есть 4 непараллельные прямые на плоскости, то мы можем образовать 6 треугольников так, чтобы никакие три из них не пересекались в одной точке.