Сколько у тренера есть возможностей для сбора команды с учётом всех трёх условий?

Летучий_Мыш

63

Для начала, давайте я расскажу вам, что означает задача и как её решить. Мы имеем тренера, который хочет собрать команду, и перед ним стоят три условия, которые он должен учесть.

Первое условие: у нас есть 10 игроков и тренер может выбрать из них только 5 для команды. Здесь используется комбинаторика, точнее формула сочетаний, чтобы найти количество вариантов. Формула сочетаний записывается как \(C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\), где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

В нашем случае у нас \(n = 10\) (10 игроков) и \(k = 5\) (тренер выбирает 5 игроков для команды). Подставив значения в формулу, мы получим, что количество возможностей выбора 5 игроков из 10 равно

\[
C(10, 5) = \frac{{10!}}{{5! \cdot (10-5)!}} = \frac{{10!}}{{5! \cdot 5!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 252.
\]

Таким образом, у тренера есть 252 возможности собрать команду из 10 игроков, выбирая 5 из них.

Однако, это только одно из трёх условий, которые тренер должен учесть. Давайте разберём остальные два условия.

Второе условие: тренер хочет выбирать из 10 игроков только 3. Здесь нам необходимо использовать формулу сочетаний снова, только теперь у нас \(k = 3\). В итоге получается

\[
C(10, 3) = \frac{{10!}}{{3! \cdot (10-3)!}} = \frac{{10!}}{{3! \cdot 7!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 120.
\]

Таким образом, тренер может выбрать команду из 10 игроков, состоящую только из 3 игроков, 120 различными способами.

Третье условие: тренер хочет выбирать только 2 игрока из 10. Опять же, используем формулу сочетаний:

\[
C(10, 2) = \frac{{10!}}{{2! \cdot (10-2)!}} = \frac{{10!}}{{2! \cdot 8!}} = \frac{{10 \cdot 9}}{{2 \cdot 1}} = 45.
\]

Таким образом, тренер может выбрать команду из 10 игроков, состоящую только из 2 игроков, 45 различными способами.

Таким образом, если тренер должен учесть все три условия одновременно, общее количество возможных команд будет равно произведению количества возможных команд при каждом условии.

\[
252 \cdot 120 \cdot 45 = 1,138,800.
\]

Итак, у тренера есть 1,138,800 возможностей собрать команду, учитывая все три условия.