Сколько времени потребуется на то, чтобы наполнить бассейн, если сначала открыт только первый кран в течение 3 часов

Цветочек

40

Чтобы решить данную задачу, мы будем использовать концепцию рабочих единиц, где время работы одного крана будет равно 1 рабочей единице. Первый кран работал в течение 3 часов, поэтому он добавил 3 рабочие единицы в бассейн.

Затем мы открываем второй кран наряду с первым. Оба крана будут работать параллельно и добавлять воду одновременно. Предположим, что первый кран вместе с вторым краном заполняет бассейн за время t часов. Тогда мы можем установить следующее соотношение:

Объем воды, добавляемой первым краном за единицу времени, равен объему воды, добавляемой вторым краном за единицу времени.

Давайте обозначим скорость работы первого крана как "r" (в рабочих единицах в час), а скорость работы второго крана как "2r" (так как оба крана работают одновременно, и второй кран работает вдвое быстрее первого).

Теперь мы можем записать уравнение, используя соотношение об объеме воды, которую добавляют оба крана:

\(3r + t(2r) = 1\)

Первое слагаемое \(3r\) представляет объем воды, добавленный первым краном за 3 часа (3 рабочих единицы). Второе слагаемое \(t(2r)\) представляет объем воды, добавленный первым и вторым кранами за время t часов (1 рабочая единица).

Теперь мы можем решить это уравнение для t:

\(3r + 2rt = 1\)

Вынесем общий множитель и приведем уравнение к форме квадратного уравнения:

\(t(2r) + 3r = 1\)

\(2rt + 3r - 1 = 0\)

Для решения квадратного уравнения нам нужно использовать квадратное уравнение вида \(at^2 + bt + c = 0\), где a = 2r, b = 3r и c = -1.

Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Подставим значения a, b и c:

\[t = \frac{-3r \pm \sqrt{(3r)^2 - 4(2r)(-1)}}{2(2r)}\]

Выполняя вычисления, мы получаем два возможных значения для t:

\[t_1 = \frac{-3r + \sqrt{9r^2+8r}}{4r}\]

\[t_2 = \frac{-3r - \sqrt{9r^2+8r}}{4r}\]

Мы должны выбрать положительное значение для времени, поскольку нам нужно найти время. Таким образом, время, необходимое для заполнения бассейна обоими кранами, составит:

\[t = \frac{-3r + \sqrt{9r^2+8r}}{4r}\]

Данный ответ позволяет ученику понять, что время, требуемое для заполнения бассейна при работе обоих кранов, зависит от скорости работы кранов (обозначенной как "r"). Стремясь к самому подробному ответу, данный подход позволяет ученику понять концепцию рабочих единиц и использование уравнений для решения задач.