Сколько времени займет процесс полураспада изотопа, если изначально было 8 атомов и останется только 2 атома?

Rak_797

34

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать понятие полураспада и уравнение полураспада.

1. Полураспад - это процесс, в течение которого количество атомов изотопа уменьшается вдвое после каждого периода времени, называемого периодом полураспада.

2. Уравнение полураспада имеет следующий вид:

\[ N_t = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} \]

где:
- \( N_t \) - количество остающихся атомов после времени \( t \)
- \( N_0 \) - изначальное количество атомов
- \( t \) - время прохождения процесса полураспада
- \( T \) - период полураспада

3. Нам дано, что изначально было 8 атомов и осталось только 2 атома. Нам нужно найти, сколько времени займет полураспад изотопа.

Давайте решим задачу:

1. Подставим \( N_t = 2 \) и \( N_0 = 8 \) в уравнение полураспада и найдем значение \( \frac{t}{T} \):

\[ 2 = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} \]

2. Разделим обе части уравнения на 8:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} = \frac{2}{8} \]

3. Упростим правую часть:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} = \frac{1}{4} \]

4. Чтобы избавиться от степени, возьмем логарифм обеих частей уравнения:

\[ \log_{\frac{1}{2}}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\right) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{4}\right) \]

5. Применим свойство логарифма:

\[ \frac{t}{T} = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{4}\right) \]

6. Вычислим значение логарифма:

\[ \frac{t}{T} = 2 \]

7. Умножим обе части уравнения на \( T \):

\[ t = 2T \]

Таким образом, процесс полураспада изотопа займет время, равное двум периодам полураспада.