Составьте график функции y= -2 - (x^4 - x^3) / (x^2 - x) и определите, при каких значениях m прямая y=m пересекает
Составьте график функции y= -2 - (x^4 - x^3) / (x^2 - x) и определите, при каких значениях m прямая y=m пересекает график ровно дважды.
Cyplenok_5177 26
Хорошо, для начала составим график функции \( y = -2 - \frac{{x^4 - x^3}}{{x^2 - x}} \).Для определения точек пересечения с прямой \( y = m \), мы должны приравнять уравнение функции и уравнение прямой и решить полученное уравнение относительно \( x \).
Итак, приравняем \( y \) к \( m \):
\[ -2 - \frac{{x^4 - x^3}}{{x^2 - x}} = m \]
Перенесем все слагаемые на одну сторону:
\[ -2 - m = \frac{{x^4 - x^3}}{{x^2 - x}} \]
Теперь умножим обе части уравнения на \( (x^2 - x) \), чтобы избавиться от дробей:
\[ (-2 - m)(x^2 - x) = x^4 - x^3 \]
Раскроем скобки:
\[ -2x^2 + 2x - mx^2 + mx = x^4 - x^3 \]
Соберем все слагаемые в одну сторону:
\[ x^4 - x^3 - (2x^2 - 2x + mx^2 - mx) = 0 \]
Упростим:
\[ x^4 - x^3 - 2x^2 + 2x - mx^2 + mx = 0 \]
Теперь соединим подобные слагаемые:
\[ x^4 - x^3 - (2 + m)x^2 + (2 + m)x = 0 \]
Таким образом, мы получили квадратное уравнение, которое мы можем решить для определения значений \( x \).
Теперь рассмотрим случай, когда прямая \( y = m \) будет пересекать график функции дважды:
Квадратное уравнение имеет два корня, когда дискриминант \( D \) положителен. Дискриминант \( D \) равен:
\[ D = (2 + m)^2 - 4(1)(-(2 + m)) \]
Упростим:
\[ D = (2 + m)^2 + 4(2 + m) \]
Раскроем скобки:
\[ D = 4 + 4m + m^2 + 8 + 4m \]
Соберем все слагаемые:
\[ D = m^2 + 8m + 12 \]
Теперь, чтобы прямая \( y = m \) пересекала график функции дважды, дискриминант должен быть положительным:
\[ D > 0 \]
Подставим значение \( D \) в неравенство:
\[ m^2 + 8m + 12 > 0 \]
Факторизуем левую сторону:
\[ (m + 6)(m + 2) > 0 \]
Теперь рассмотрим два случая:
1) Если оба множителя \( (m + 6) \) и \( (m + 2) \) положительны или оба отрицательны, то неравенство выполняется.
2) Если один множитель положителен, а второй отрицателен, то неравенство не выполняется.
Таким образом, значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) пересекает график функции \( y = -2 - \frac{{x^4 - x^3}}{{x^2 - x}} \) ровно дважды, соответствуют случаю, когда оба множителя положительны или оба отрицательны:
\[ m < -6 \quad \text{или} \quad m > -2 \]
Итак, при значениях \( m < -6 \) или \( m > -2 \), прямая \( y = m \) пересекает график функции ровно дважды.